1. Дайте определение расстояния ρ(a,b) между точками a,b∈r. Сформулируйте и докажите свойства функции ρ(a,b).

Ответ: В пространстве Rⁿ расстояние между точками определяется формулой ρ(p,q)=|p-q|= √(x1^/ - x1^//)²+…+(xn^/ - xn^//)², где p=(x1^/,…,xn^/), q=(x1^//,…,xn^//) – две произвольные точки из Rⁿ.

Свойства:

А) ρ(p,q)>0, если p≠q, иначе ρ(p,p)=0

Д-во: из ф-лы расстояния имеем корень суммы квадратов. (xn^/ - xn^//)²≥0, соответственно, их сумма также ≥0. Т.о., ρ(p,q)≥0. ρ(p,q)=0  xn^/=xn^// (то есть p=q)

Б) ρ(p,q)= ρ(q,p)

Док-во: из ф-лы расстояния имеем для ρ(p,q)= √(x1^/ - x1^//)²+…+(xn^/ - xn^//)²= √(x1^// - x1^/)²+…+(xn^// - xn^/)²= ρ(q,p)

В) ρ(p,q)+ ρ(q,r)≥ ρ(p,r), каковы бы ни были точки p,q,r

Д-во: Точки p,q,r∈Rⁿ в любом n-мерном пространстве образуют плоскость в пространстве R². Таким образом, они представляют собой треугольник. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин двух сторон больше третьей стороны

2. Дайте определение открытого множества в R².

Ответ: Множество Х называется открытым, если все его точки внутренние, то есть оно не содержит своих граничных точек

3. Дайте определение замкнутого множества в R².

Ответ: Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки

4. Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры: а) множества, содержащего все свои предельные точки; б) множества, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.

Ответ: Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р называется

предельной, если в любой ε-окрестности точки р имеются точки множества Х, отличные от р.

Пример: а) любое замкнутое множество; б) функция вида f(x)= , x∈A, где А – замкнутое ограниченное множество

5. Дайте определение сходящейся последовательности точек в Rⁿ

Ответ: Пусть {pn} – последовательность точек в Rⁿ. Эта последовательность сходится к точке р0, если числовая последовательность {ρ(pn,p0)} имеет предел 0.

6. Дайте определение предела функции двух переменных в точке.

Ответ: Конечное число A называется пределом функции f(x,y) при xx₀ и yy₀, если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное число δ, что неравенство |f(x,y)-A|<ε выполняется для всех точек М(х,у) из области Z, отличных от M₀(x₀y₀), координаты которых удовлетворяют неравенствам: |x-x₀|< δ, |y-y₀|< δ

7. Докажите, что функция f(x,y)=

не имеет предела в точке (0,0)

Ответ: Если в точке (0,0) существует предел, то он единственен.

= = = = = A(k)

=> различны пределы => пределы различны

8. Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой функции f(X,y)? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?

Ответ: Производной функции f(x,y) в точке (x0,y0) по направлению называется предел |_M=

Эта же производная по направлению =(cosα,cosβ) может быть вычислена по формуле: |_M = |_M cosα + |_M cosβ.

Под градиентом функции f(x,y) понимается вектор-функция, проекциями которой являются ее соответствующие частные производные, т.е.

f(M) = ( , ).

На основании определения можно переписать формулу производной по направлению как скалярное произведение (M) =( f(M), )