4) Задачи «на работу».

Задачи на работу традиционно трудны для учащихся. В них, как правило, мало данных. Рассмотрим стандартную задачу «на работу».

Пример 3. Задача: « Два грузовика, работая совместно, могут выполнить работу за 4 дня. Работая отдельно, второй грузовик выполняет ту же работу на 6 дней дольше, чем второй рабочий. За какое время выполнит всю работу первый грузовик, работая отдельно?

При решении задачи «на работу» следует помнить, что процесс работы характеризуется тремя величинами: весь объём выполняемой работы (А), объём работы, выполненный за 1 единицу времени (эту величину ещё называют скоростью выполнения работы или производительностью) (N), время выполнения работы (t). Величины связаны формулой: A = N × t. Кроме того, полезно знать, что если объём работы не указан, то его можно обозначить буквой или принять за 1.

Проведя работу над содержанием задачи, так как указано выше, составим таблицу:

	A	t (дн.)	N
1-й грузовик	1	х	1/х
2-й грузовик	1	х + 6	1/(х+6)
Вместе	1	4	¼

Так как грузовики, работая вместе, выполняют 1/ х + 1/ (х + 6) или ¼, то получим уравнение: 1/х + 1/(х + 6) = ¼.

Конечно, для того чтобы учащиеся научились решать более сложные задачи «на работу», они должны уверенно решать стандартные задачи, пример одной из них рассмотрен выше. Оформление таблицы по условию задачи, делает её решение понятным ученикам. Но в сложных случаях приходится составлять не одну таблицу, а две. Например, процесс работы планировалось выполнять определённым образом. Но выполнялся фактически он как-то иначе. Поэтому получаем одну таблицу – «по плану», а вторую «фактически».

Заканчивая рассмотрение вопросов, связанных с решением сюжетных задач, ещё раз подчеркнём некоторые важные моменты, способствующие формированию умения решать сюжетные задачи.

Важно, чтобы учащиеся были знакомы с процессом, о котором идёт речь в задаче, знали величины, которыми он описывается, умели бы установить их связь. Поскольку эти сюжетные задачи не назовёшь стандартными, полезно выделять среди них опорные задачи, на их основе создавать некоторые ориентиры, помогающие решать другие задачи. Не стоит увлекаться подробными обоснованиями составления уравнения, достаточно, например, оформить таблицу по условию задачи. Это позволит на уроке и дома решать большее количество задач.

Итоговый тест

Данный тест предназначен читателям для самоконтроля усвоения содержания пособия. Следует помнить, что на один и тот же вопрос ответ может быть выбран несколькими способами.

1. Научные области, составляющие методологическую основу методики обучения математике (МОМ)

1) математика, педагогика, возрастная физиология, теория познания;

2) математика, психология, философия;

3) математика, философия, педагогика, психология;

4) педагогика и психология.

2. Вопросы, на которые студенты получат ответ в процессе изучения МОМ

1. Как правильно провести анализ содержания обучения, определить цели и задачи его изучения в школе?

2. Как грамотно проектировать деятельность учителя и учащихся на уроке, направленную на изучение школьной математики?

3. Какими способами вычислять двойной интеграл?

4. Как правильно подобрать систему упражнений, способствующую усвоению нового материала учащимися?

3. Одна из главных целей обучения математике, сформулированная в Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. – овладение конкретными математическими знаниями. Конкретные математические знания необходимы для:

1. применения в практической деятельности;

2. изучения смежных дисциплин;

3. решения задач;

4. продолжения образования.

4. Основные цели обучения математике на современном этапе развития общества, представленные в Концепции:

1. воспитание личности в процессе освоения математики, математической деятельности;

2. интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для жизни в обществе;

3. развитие математической речи учащихся;

4. формирование представлений об идеях и методах математики.

5. Принцип обучения, который предполагает выполнение следующих условий: а) соответствие содержания и методов обучения уровню и потребностям современной математики; б) создание у школьников верных представлений об общих методах познания действительности математическими средствами, – это:

1) принцип сознательности; 2) принцип прочности знаний;

3) принцип научности; 4) принцип систематичности.

6. Условия, позволяющие говорить о реализации в процессе обучения принципа сознательности, активности, самостоятельности:

1. познавательная деятельность учащихся соответствует закономерностям процесса учения;

2. учащиеся активно участвуют в диалоге с учителем;

3. на каждом уроке учащиеся выполняют самостоятельные работы;

4. учащиеся владеют методами умственного труда, позволяющими им самостоятельно овладевать знаниями.

7. Основными документами для учителя математики при планировании процесса обучения являются:

1. Конституция РФ;

2. Программы по математике для средней школы;

3. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г.;

4. Учебные стандарты школ России.

8. К основным единицам содержания школьной математики относятся:

   1. теоремы;

   2. математические понятия;

   3. уравнения;

   4. функции.

8. Математическое понятие – это:

   1. слово, обозначающее некоторый математический объект;

   2. предложение, в котором вводится новый термин;

   3. мысль, в которой отражены характеристические признаки объектов одной природы, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы выделить определённый класс объектов;

   4. психическая структура – носитель всей информации о некотором математическом объекте, полученной в результате его изучения.

8. Содержание математического понятия – это:

   1. система взаимосвязанных логически упорядоченных суждений о некотором математическом объекте – весь объём теоретических знаний о нём;

   2. набор характеристических свойств, указанных в определении понятия;

   3. смысл слова, соответствующего понятию;

   4. совокупность математических объектов, отражаемых в понятии.

8. В содержание понятия входят:

   1. теоремы;

   2. определения;

   3. суждения об изучаемом объекте, которые называются свойствами или признаками;

   4. математические объекты.

8. Научные понятия отличаются от общих представлений (предпонятий) тем, что:

   1. служат материалом для рассуждений;

   2. тесно связаны с речью;

   3. служат опорой для наглядного мышления;

   4. объективно и однозначно мыслятся всеми людьми.

8. Установите соответствие между терминами и их трактовкой в науке:

1) образование понятия;

2) усвоение понятия;

3) формирование понятия;

4) уровень усвоения понятия.

а) определённый результат изучения некоторого понятия в рамках определённой темы;

б) совместная деятельность учителя и учащихся, направленная на усвоение информации, составляющей сущность понятия;

в) процесс превращения определённых единиц объективно существующего знания в субъективные ментальные структуры, существующие уже в сознании человека в качестве психических новообразований;

г) включение в ментальный опыт ребёнка существующей вне его , то есть объективно, научной информации об изучаемом математическом объекте.

8. Усвоение математического определения на уровне «фактов» предполагает, что ученик:

   1. формулирует определение понятия, понимает смысл всех его слов, умеет привести пример и контрпример;

   2. умеет определить вид суждения, т. е. определить является ли оно свойством или признаком; правильно использует свойства и признаки в рассуждениях.

   3. умеет применять усвоенную информацию для изучения новых объектов;

   4. формулирует теоремы, в которых речь идёт о свойствах или признаках понятия; применяет их исключительно по образцу.

8. К основным этапам формирования математического понятия относятся:

   1. изучение структуры понятия;

   2. выявление необходимых и достаточных условий;

   3. построение логической схемы понятия;

   4. введение понятия.

8. Способы введения математического понятия:

   1. проблемный;

   2. абстрактно-дедуктивный;

   3. исследовательский;

   4. системно-деятельностный.

8. Абстрактно-дедуктивный способ введения математического понятия начинается:

   1. с диалога;

   2. с определения математического объекта;

   3. с построения чертежа нового объекта;

   4. с изучения имеющегося опыта учащихся.

8. В теореме «Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, описанной около него» речь идёт:

   1. о признаке прямоугольного треугольника;

   2. о свойстве прямоугольного треугольника;

   3. о свойстве диаметра окружности;

   4. о свойстве и признаке прямоугольного треугольника.

19. Наличие двух равных сторон является для равностороннего треугольника

1. свойством;

2. признаком;

3. свойством и признаком;

4. ни тем, ни другим.

20. Равносильными для теоремы «В равнобедренной трапеции углы при основании равны» являются утверждения:

1) равенство углов при основании трапеции есть признак равнобедренной трапеции;

2) для того чтобы углы при основании трапеции были равны, достаточно, чтобы трапеция была равнобедренной;

3) из условия, что трапеция равнобедренная, следует, что углы при её основании равны;

4) свойством равнобедренной трапеции является равенство углов при её основании.

21. Теорему «Около любого треугольника можно описать окружность» можно назвать теоремой:

1) о признаке треугольника;

2) о свойстве окружности;

3) существования;

4) общего вида.

22. Равносильными для теоремы: «Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы одна из его медиан была высотой треугольника», являются следующие утверждения:

1) если медиана треугольника является одновременно его высотой, то треугольник равнобедренный;

2) наличие медианы треугольника, совпадающей с его высотой, является свойством равнобедренного треугольника;

3) одна из медиан равнобедренного треугольника является и его высотой;

4) из равнобедренности треугольника следует, что одна из его медиан является высотой треугольника.

23. В содержание понятия «Равнобедренная трапеция» входят признаки:

1) около трапеции можно описать окружность;

2) сумма углов, прилежащих к одной стороне трапеции равна 180^º;

3) углы при основании трапеции равны;

4) диагонали трапеции равны.

24. Зона поиска при решении задачи, в которой надо доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, состоит:

1) из теорем о параллелограмме;

2) из свойств параллелограмма;

3) из признаков параллелограмма;

4) из свойств параллельности прямых.

25. Зона поиска при решении задачи, в которой дан прямоугольный треугольник, должна включать:

1) признаки прямоугольного треугольника,

2) свойства прямоугольного треугольника;

3) теоремы о прямоугольном треугольнике;

4) свойства перпендикулярных прямых.

26. Определение математического понятия – это:

1) утверждение;

2) высказывание, которое всегда истинно;

3) предложение, в котором вводится новый термин;

4) логическая операция.

27. К рабочим можно отнести определения следующих понятий:

1) логарифма;

2) цилиндрической поверхности;

3) конуса;

4) ромба.

28. Правильными являются следующие определения ромба:

1) ромбом называется параллелограмм, у которого смежные стороны равны;

2) ромбом называется четырёхугольник, у которого диагонали перпендикулярны;

3) ромбом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны;

4) квадрат называется ромбом.

29.Ученик дал следующее определение прямой, перпендикулярной плоскости: «Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна одной из прямых, лежащих в этой плоскости». Ошибки в этом определении следующие:

1) оно не содержит слова «называется»;

2) в нём использовано неверное кванторное слово;

3) пропущено слово «любая» в начале предложения;

4) в нём не указана разъяснительная часть.

30. Лучший способ исправления ошибки, которую допустил учащийся в определении, это:

1)предложить ученику прочитать определение в учебнике;

2)спросить другого ученика;

3)привести контрпример;

4)сформулировать определение самому учителю.

31. К основным этапам изучения определения относятся:

1) выведение следствий из определения;

2) обучение применению определения в простейших рассуждениях;

3) формализованная запись определения;

4) подготовительный этап.

32. Для того чтобы учитель был готов к работе над ошибками учащихся в определениях, необходимо, чтобы он:

1) переформулировал определение;

2) составил эквивалентное определение;

3) составил отрицание определения;

4) сформулировал тривиальные следствия из определения.

33. Теорема – это:

1) истинное высказывание;

2) рассуждение, которое обосновывает её истинность;

3) предложение, истинность которого требуется доказать;

4) некоторое утверждение.

34. К основным видам теорем школьного курса математики можно отнести:

1) геометрические;

2) алгебраические;

3) общего вида;

4) импликативные.

35. Краткая запись теоремы: «Около любого треугольника можно описать окружность»:

1) Дано: АBC. Построить окружность, описанную около АBC.

2) Дано: АBC, Окр (О,r). Доказать, что окружность описана около треугольника.

3) Дано: АBC – треугольник. Построить окружность, проходящую через точки А,B,C.

4) Дано: АBC – треугольник. – окружность с центром О. Доказать, что ОА=ОВ=ОС.

36. Утверждения, обратные к теореме «Если четырёхугольник – ромб, то его диагонали перпендикулярны» могут быть сформулированы следующим образом:

1) Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

2) Перпендикулярность диагоналей является признаком четырёхугольника, который является ромбом.

3) Перпендикулярность диагоналей является свойством ромба.

4) «Четырёхугольник – ромб» - это достаточное условие перпендикулярности диагоналей четырёхугольника.

37. Вместо теоремы «Прямая, перпендикулярная одному из радиусов окружности в точке, лежащей на окружности, является касательной к данной окружности в этой точке» можно доказать следующую:

1) прямая, пересекающая окружность в некоторой точке и перпендикулярная её радиусу, является касательной к окружности;

2) если прямая является касательной к окружности, то она пересекает один из её радиусов в точке, лежащей на окружности, и перпендикулярна ему;

3) если прямая не является касательной к окружности, то она в любой точке окружности не перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку;

4) из того, что прямая является касательной к окружности, следует, что она перпендикулярна к одному из радиусов окружности в точке, лежащей на окружности.

38. Доказательство – это:

1) дедуктивное рассуждение;

2) цепочка дедуктивных рассуждений;

3) правдоподобное рассуждение;

4) рассуждение, обосновывающее истинность утверждения.

39. Структура дедуктивного рассуждения:

1) разъяснительная часть, общие посылки, частные посылки;

2) частные посылки, общие посылки, вывод;

3) условия, теоремы, заключения;

4) разъяснительная часть, частные посылки, вывод.

40.Рассуждение, в результате которого делается вывод , что все объекты обладают некоторым свойством только на том основании, что некоторые объекты данной совокупности обладают этим свойством, – называют :

1) рассуждением по аналогии;

2) полной индукцией;

3) дедуктивным рассуждением;

4) неполной индукцией.

41.Дедуктивное рассуждение отличается от других видов рассуждений тем, что:

1) делается общий вывод обо всех объектах совокупности;

2) они проводятся по особым логическим схемам;

3) из правильных посылок всегда получается верный вывод;

4) изучаемый объект рассматривается как единое целое.

42. Диалог аналитического характера (направляющий диалог) предполагает постановку вопросов:

1) что дано?

2) что требуется доказать (найти)?

3) известно А. Какой вывод следует из условия А?

4) что нужно знать, чтобы доказать А?

43. Анализ как метод рассуждений отличается от других видов рассуждений тем, что:

1) устанавливает связи отдельных элементов изучаемого объекта;

2) позволяет переходить от следствий к причинам;

3) изучаемый объект мысленно разбивается на части и каждая из них изучается отдельно;

4) проводится по определённым схемам, называемым правилами вывода.

44. Школьное доказательство считается полным, если в дедуктивных рассуждениях, из которых оно состоит, указаны:

1) частные посылки и вывод;

2) частные посылки, общие посылки, правила вывода и вывод;

3) частные посылки, общие посылки, способ доказательства, вывод;

4) частные посылки, общие посылки и вывод.

45. Предварительный анализ теоремы учителем включает следующие действия:

1) выясняется вид и структура теоремы;

2) рассматриваются всевозможные переформулировки теоремы;

3) выясняется идея доказательства теоремы;

4) продумываются различные варианты её краткой записи.

46. Типовой проект изучения теоремы и её доказательства содержит следующие этапы:

1) поиск доказательства теоремы;

2) обучение учащихся переформулировке теоремы;

3) запись доказательства;

4) обучение самостоятельному доказательству теоремы.