- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
1) Упражнение. Система упражнений.
Достижение каждой цели требует выполнения определённой деятельности, и, следовательно, владения теми действиями, которые входят в состав деятельности. Формирование действий происходит в процессе их выполнения, то есть посредством упражнений. Упражнение – это специально отобранное задание, направленное на усвоение некоторого действия. Действия же могут быть направлены на усвоение новой информации и овладения новой деятельностью.
В данном пункте рассмотрим вопрос об упражнениях и их системах, необходимых для усвоения нового математического действия.
Система упражнений (СУ) – это совокупность заданий, основная цель решения которых – при минимальных затратах времени добиться усвоения нового знания или формирования некоторого умения. Существует ряд общих требований к составлению систем упражнений, выработанных в психологии и педагогике, которых должен придерживаться учитель. При составлении СУ должны быть учтены индивидуальные особенности и возможности учащихся. При составлении СУ необходимо учитывать закономерности процесса усвоения. В частности, при составлении СУ нужно учитывать следующие положения:
В СУ устанавливается строгая последовательность упражнений «от простого к сложному».
В СУ должны быть упражнения различного уровня сложности: репродуктивного, продуктивного и творческого.
СУ должна содержать задания с различными функциями: обучающие, развивающие, воспитывающие, включая и упражнения контрольного характера.
Г.И. Саранцев [62] предложил следующую классификацию упражнений: упражнения, стимулирующие учебно-познавательную деятельность учащихся; упражнения, организующие и осуществляющие учебно-познавательную деятельность школьников; упражнения, в процессе выполнения которых осуществляется контроль и самоконтроль эффективности учебно-познавательной деятельности.
2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
Каждый этап формирования нового действия (см. типовой проект) осуществляется посредством специально подобранных упражнений, которые образуют систему упражнений, направленную на обучение новому действию.
Система упражнений, направленная на формирование нового действия в соответствии с типовым проектом должна содержать следующие упражнения:
Упражнения подготовительного характера.
Упражнения, с помощью которых вводится ООД.
Упражнения на выполнение нового действия в стандартных ситуациях.
Упражнения на выполнение действия в совокупности с одним – двумя ранее изученными действиями.
Упражнения на применение действия в нестандартных ситуациях.
Упражнения контрольного характера.
Успешность в усвоении нового действия во многом зависит от того, как организован подготовительный этап, в частности, этап актуализации знаний и умений. Для того чтобы подобрать эффективную систему упражнений для этапа актуализации, учителю необходимо проанализировать состав этого действия, то есть выделить те операции, из которых оно состоит.
Пример 1. Рассмотрим состав действия вынесения общего множителя многочлена за скобки (алгебра, 7-й класс). Для этого рассмотрим пример выполнения данного действия:
24х3 – 12х2у + 4ху = 4x (6x2 – 3xy + y). Можно выделить следующие операции: нахождение общего множителя нескольких чисел, то есть нахождение их наибольшего общего делителя; нахождение общего множителя двух и более одночленов; представление одночлена в виде произведения двух множителей, один из которых известен; вынесение общего множителя за скобки на основе распределительного закона умножения относительно сложения.
Система подготовительных упражнений должна содержать упражнения на выполнение всех этих операций, если учитель хочет добиться усвоения нового действия каждым учеником.
Пример 2. Рассмотрим систему упражнений на формирование умения выносить общий множитель многочлена за скобки.
Подготовительные упражнения: а) разложите числа на простые множители: 120; 26; 145 и др.; б) найдите НОД чисел: 14 и 21; 4, 6, 18; и др.; в) укажите недостающий множитель в произведении: 3а2b = 3a · ...; 24x3y4z = 8 x2 z· ... и т. д. г) найдите все общие множители одночленов 6аb и 18а; и др.
Упражнения для формулирования ООД. Новое действие можно разбить на 2 сложных действия: первое – формирование (отыскание) общего множителя многочлена; второе – вынесение общего множителя за скобки. Для формирования ООД по выявлению общего множителя многочлена следует начать со следующих упражнений: найдите общий множитель членов многочлена и вынесите его за скобки: 15х + 5; 15х2 + 5х; и так далее по нарастанию сложности.
Упражнения на применение ООД, для выполнения действия в знакомых ситуациях: найдите такой общий множитель и вынесите его за скобки так, чтобы у членов получившегося многочлена не было бы другого общего множителя, кроме 1: 24х3 – 12х2у + 4ху; разложите многочлен на множители и сделайте проверку: 12а2bс – 18ab2 – 6ab3.
Упражнения на выполнение действия в нестандартной (для первого урока!) ситуации: решите уравнения: 28х5 + 7х4 = 0; 3х3у – 12 х2у = 0.
Для того чтобы организовать дальнейшую работу по формированию нового действия, начинающему учителю необходимо выполнить анализ системы упражнений к соответствующему пункту учебника, выявить особенности приведённых в ней групп заданий, обращая внимание на их отличие от стандартных.
При составлении и использовании готовых СУ нужно учитывать особенности психических процессов учащихся в познании. Г.И. Саранцев [62] приводит такой пример. Обучая решению неполных квадратных уравнений вида ax2 + b = 0, учитель предложил учащимся решить около десятка таких уравнений. После этого им предложено было решить уравнение 5x2 + 2x = 0. Учащиеся ранее встречались с такими уравнениями, тем не менее, они стали их решать по предыдущему алгоритму: перенесли 2x в правую сторону и, «поделив» обе части уравнения на 5, получили: x2 = -2/5. Причиной такого положения является инерция мышления. Чтобы избежать ошибок учащихся, причиной которых является инерция мышления, психологи рекомендуют:
в СУ, направленную на формирование некоторого действия, включать упражнения на выполнение не только самого действия, но и обратного к нему действия (например, «разложить на множители а2 –25» и «преобразовать произведение (х – 2)(х + 2) в многочлен»);
однотипных упражнений в СУ должно быть не больше трёх. При формировании навыков в СУ неизбежно приходится включать упражнения однотипные, порождающие сходные ситуации. При этом полезно в их число включать упражнения, позволяющие обратить внимание учащихся на их различные компоненты. Так при изучении формулы разности квадратов вместе с упражнениями типа «Записать в виде многочлена произведение (3х + 5у)(3х – 5у)» следует предложить упражнение «Записать в виде многочлена следующие произведения: а) (3х – 5у)(5у + 3х); б) (3х + 5у)(5у – 3х).