3) Задачи «на движение».

В процессе движения дети участвуют с самого раннего возраста. Но практика обучения в школе показывает, что далеко не все дети умеют разобраться в сюжете задачи, перевести отношения между величинами на язык математики. Какие же знания о процессе движения ученики должны приобрести в процессе решения задач? Перечислим некоторые из них.

• Процесс движения характеризуется тремя величинами: расстояние s, скорость движения v, время движения t. Эти величины связаны формулой s = v × t.

• Если тела вышли одновременно и движутся навстречу друг другу, то скорость их сближения равна сумме скоростей. Чтобы найти время, через которое тела встретятся, нужно расстояние между ними разделить на сумму скоростей.

• Если тела вышли одновременно, когда между ними было расстояние, равное а ед., и движутся в одном направлении с разной скоростью, то скорость их сближения равна разности скоростей этих тел. Чтобы найти время, в течение которого произойдёт встреча этих тел, нужно а разделить на разность скоростей.

• Если тело движется по реке вниз по течению, то скорость движения складывается из собственной скорости тела и скорости течения реки.

• Если тело движется по реке против течения, то скорость тела равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.

• Если в условии задачи расстояние, которое пройдено телом неизвестно, то его можно принять за единицу или ввести новую букву.

Это только некоторые особенности процесса движения, которые необходимо знать для успешного решения задачи на движение. В 9-м классе встречаются задачи, в которых описывается движение по кругу, движение трёх тел и др. учитель обязан помочь ребятам разобраться в особенностях новой ситуации.

Рассмотрим задачу, которую можно считать опорной задачей на движение.

Пример 1. Задача «Два автомобиля отправляются в 420- километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость автомобиля, пришедшего к финишу первым» (8-11-й класс).

1. Работа над содержанием задачи и поиск её решения.

Учитель ведёт диалог с учащимися, задавая следующие вопросы:

• Какой процесс описывается в задаче?

• Какими величинами он характеризуется?

• Как они связаны между собою?

• Какие ситуации рассматриваются в задаче? (Едет первый автомобиль, едет второй автомобиль).

Составьте таблицу по тексту задачи.

	S (км)	V (км/ч)	t (ч)
1-й автомобиль	420	?	?
2-й автомобиль	420	?	?

• Найдите две величины, которые неизвестны, но как-то связаны. Это а) скорости автомобилей или б) время движения.

• Что нужно найти в задаче? (скорость первого автомобиля).

• Какую величину целесообразно обозначить буквой х? (скорость первого автомобиля).

• Как тогда выразится скорость второго автомобиля?

• Внесите изменения в таблицу или начертите новую. Заполните все клетки.

	S (км)	V (км/ч)	t (ч)
1-й автомобиль	420	х	420/х
2-й автомобиль	420	х+10	420/(х+10)

• Какое условие не использовано в задаче?

• Как это условие выразить математическим языком? (Так как время движения первого автомобиля на 1 ч меньше второго, то составим уравнение: 420/х + 1 = 420/(х+10).

Пример 2. Рассмотрим задачу: «Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6 км, одновременно навстречу друг другу вышли 2 пешехода. Пешеход, шедший из пункта А, пришёл в В через 24 минуты после встречи пешеходов, а пешеход, вышедший из пункта В, пришёл в А через 54 минуты после встречи. Через какое время после выхода пешеходов состоялась их встреча и на каком расстоянии от пункта А?» (7-11-й класс).

Анализ текста ведётся под руководством учителя посредством диалога.

Вопросы учителя	Предполагаемые ответы учащихся
О ком идёт речь в задаче?	О двух пешеходах.
Что известно о движении первого пешехода?	Он вышел из пункта А, прошёл 6 км, встретился с другим пешеходом и после этого ещё был в пути 24 мин.
Что известно о движении второго пешехода?	Он вышел из пункта В, прошёл 6 км, после встречи с другим пешеходом ещё был в пути 54 мин.
Что требуется найти в задаче?	Нужно найти время и расстояние от пункта А до места встречи пешеходов.
Можно ли утверждать, что скорость пешеходов была одинаковой?	Нет, В противном случае они одновременно пришли бы каждый в свой пункт.
Какой из пешеходов шёл быстрее?	Быстрее шёл второй пешеход, так как он был в пути на 30 мин меньше.

Работа над текстом задачи про пешеходов по тексту учебника под руководством учителя может выглядеть следующим образом. Учитель даёт указания ученикам:

• Прочитайте задачу. Изобразите схематично расстояние от пункта А до пункта В, отметьте место встречи пешеходов буквой С.

• Вспомните, какими величинами характеризуется процесс движения, как они связаны между собою.

• Прочитайте условие ещё раз, выясните, какие из этих величин известны. Нанесите их на схему.

• Прочитав требование задачи, подумайте, какую из величин можно обозначить через х. Нанесите на свою схему эту величину.

• Подумайте, какие величины можно выразить через х, и нанесите их на схему.

• Просмотрите каждый из отрезков пути пешеходов, подумайте, сможете ли вы назвать длину пути, скорость и время движения пешеходов на каждом отрезке пути.

• Проверьте, все ли данные задачи вы рассмотрели.

• Подумайте над следующими вопросами: одинакова ли скорость пешеходов, какой из них шёл быстрее, какими данными задачи это подтверждается?

• Какой пешеход был дольше в пути?

• На сколько минут 2-й пешеход был дольше в пути? (на 54 – 24 =

=30 (мин)).

Краткая запись приведённой выше задачи может быть представлена в виде схемы.

А(1-й пешеход) С В(2-й пешеход)

АС за 54 мин; ВС за 24 мин; АВ = 6 км.

С – место встречи.

Составим таблицу по тексту задачи, опираясь на схему.

	S	v	t
Отрезок АС (2-й пешеход)	х км	54 мин	х/54 км/мин
Отрезок СВ (1-й пешеход)	6-х км	24 мин	(6-х)/24 км/мин

Так как второй пешеход был в пути на 30 мин дольше, чем первый, то получим уравнение: х/54 – (6-х)/24 = 30.