- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
3) Процесс образования научных понятий.
Основоположники современной теории понятия (Л.С. Выготский, Л.М. Веккер (1918-2001), А.Н. Леонтьев и др.), рассматривая процесс образования научного понятия, выделили несколько этапов. К ним относятся: этап образования понятия на уровне образа-представления, этап образования предпонятия (предпонятие ещё называют общим представлением), этап образования собственно понятия или научного понятия. Причём каждый новый этап не отменяет предыдущего этапа, а как бы поглощает его.
Пример владения понятием на уровне образа-представления приводит в одной из своих работ учёный психолог и лингвист А.А. Леонтьев (1936-2004). Он пишет: «Ребёнок, ещё не знающий геометрии, может иметь представление о треугольнике; когда он услышит это слово, в его сознании возникает соответствующий образ. Но такой образ не сопровождается знанием свойств треугольника, а возникает как случайное, общее, нерасчленённое впечатление. Это и есть образ- представление» [40, с.85]. Несмотря на то, что мышление человека тесно связано с речью, человек в мышлении часто опирается не на слова, а на образы. Мышление в образах позволяет быстрее и легче решить любую задачу, а потому создание правильных образов изучаемых объектов – одна из задач формирования научного понятия в школе.
Этап предпонятия характеризуется не только наглядными представлениями нового объекта, но и умением в речи выделить его такие черты и качества, которыми он отличается от других объектов. Для математических понятий – это этап «определения» нового объекта и применения определения для распознавания объекта, этап знакомства с некоторыми фактами (теоремами), в которых раскрываются свойства и признаки понятия. На данном этапе сведения об объекте не представляют собою того единства, которое фиксируется учёными как образование новой психической структуры, соответствующей понятию. Все эти сведения разрозненны, не связаны иерархическими отношениями. Предпонятие может образоваться в процессе наблюдения объекта, сравнения его с другими объектами. Причём ребёнок может это сделать иногда без помощи взрослых.
По теории Л.С. Выготского собственно понятия (научные понятия) возникают достаточно поздно и совершенно на другой основе, чем предпонятия. Они возникают в результате овладения систематическими знаниями, в результате специального обучения. Учёный писал: «Понятие … сложная система суждений, приведённая в известное единство, и особая психическая структура в полном и истинном значении слова. Это значит, что система суждений, в которых раскрывается понятие, содержится в свёрнутом, сокращённом виде, как бы в потенциальном состоянии, в структуре понятия. Эта система суждений, как всякая структура, обладает своими особенностями, свойствами, характеризующими её именно как целостную систему …» [13. c. 77]. В результате изучения объекта выявляются взаимосвязи между его элементами, изучается сфера деятельности, к которой имеет отношение изучаемый объект, происходит его включение в систему других объектов. При этом система суждений об изучаемом объекте логически упорядочивается, а система фактов выстраивается в теорию. Л.С. Выготский отводил главную роль в образовании научных понятий процессу обучения детей под руководством взрослых.
Связанные с представлениями научные понятия отличаются от них даже тогда, когда они становятся предпонятиями (общими представлениями). Основное их отличие заключается в том, что представления исчерпывают содержание и возможности наглядного мышления, а понятия служат опорой, материалом для рассуждений. Представление наглядно, понятие наблюдать нельзя. Понятие тесно связано с речью, представление – нет. Представление субъективно и многозначно. К примеру, изображения равнобедренного треугольника разными учениками существенно отличаются. Понятие объективно и однозначно. Не бывает совершенно одинаковых представлений об одном и том же объекте у разных людей. То, что мыслится в понятии, мыслится одинаково всеми людьми.
Представления и предпонятия связаны с «вещественным», наглядным образом объекта. На основе представлений формируется знаковый образ идеализированного объекта, изучение которого приводит к формированию научного понятия.
Нередко у учащихся стихийно возникает наглядный образ объекта, который не вполне соответствует формируемому понятию. Создание правильных представлений обусловливается рассмотрением большого числа примеров конкретных объектов.