Затухающее колебание Диссипативная функция Релея
В реальных условиях на любую систему действует сопротивления различного характера (трение, сопротивление среды), поэтому гармонические колебания не встречаются и колебания любой системы будут являться затухающими. Поскольку сила сопротивления среды i –той точки системы противоположна и пропорциональна скорости, то сопротивление R будет равно:
где
- коэффициент пропорциональности,
характеризует свойства среды.
Происходит потеря кинетической энергии (рассеивание или диссипация), колебания для этой точки, тогда вводится диссипативная функция Релея
,
где b – обобщенный коэффициент диссипации.
Тогда обобщенная сила сопротивления равна:
Таким образом, получим соответствующие уравнения:
П=
Тогда:
(1)
Делим на а и получаем:
Введем обозначением:
;
,
где n - коэффициент затухания.
Тогда для уравнения затухающих колебаний:
(2)
Общий интеграл уравнения (2)
,
где А - амплитудное значение затухающих колебаний;
-
начальная фаза колебания.
Частота колебаний равна
На графике колебаний:
-
декремент затухания, -nt
- логарифм декремента затухания.
Период равен
Г
рафик
затухающих колебаний имеет вид
Если
,
то нет полного цикла колебаний
(лимитационное колебание)
На этом основано действие автомобильных амортизаторов.
П
ример:
определить частоту, период колебаний
передней подвески автомашины.
Выбираем обобщение координат
1) определим кинетическую энергию системы:
2) потенциальная энергия системы равна
Т.к
;
то
(1)
3) в положении
равновесии
(2)
Подставляя полученное выражение (2) в (1), получим значение потенциальной энергии П в положении равновесия
П=
=
(3)
Сравнивая полученные выражения (1) и (3) с выражениями
П=
определяем значения коэффициентов а и с.
Частота таких колебаний находится по формуле
Но этого для решения задачи недостаточно, так как надо получить дифференциальное уравнение движения и определить, колебания являются гармоническими или затухающими.
Используя уравнения (1) и (3), получим уравнение типа
;
Колебания затухающие, тогда частота равна
Следовательно, определяем n и k
;
