Общее уравнение динамики Даламбера-Лагранжа

Принцип возможных перемещений также к системе находящихся в движение.

Расмотрим систему точек с идеальными связями. Тогда к- этой точки момент записать:

Где и - равнодействующих активных сил и динамических реакций связи.

Иначе:

К – той точки возможное измещение , заменяем уравнение возможных работ всей системы.

и

т.к , для идеальных связей.

В случае равновесия сил, обобщенная сила всех заданных сил равна нулю, т.е.

;

При равновесии консервативной системы обобщенная сила равна частной производной от потенциальной энергии; по обобщенным координатам равна нулю.

Однако системы могут иметь несколько равновесных положений. Положение А является устойчивым равновесием, так как при малых отклонениях система вернётся в исходном положении. Если не вернётся (В), то равновесие неустойчивое.

С

φ

φ

точки зрения потенциальной энергии, устойчивое равновесие будет тогда, когда П имеет min.

Критерий минимума функции П:

(1)

Критерий устойчивости равновесия:

(2)

(2) формула выражает теорему Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия консервативной системы с одной степенью свободы.

Если система имеет s-степеней свободы, то там устойчивое равновесие определяется критерием Сильвестра.

Теория малых колебаний

Теорема малых колебаний, начав свое развитие с изучения движения маятника, превратилась в самостоятельную дисциплину, с весьма сложным математическим аппаратом.

Развитие вычислительной техники дало возможность решать очень большой класс задач для систем с n-степенями свободы. Для описания колебательных процессов и их количественной оценки, динамических характеристик, необходимо определиться с равновесным, устойчивым состоянием системы.

Пример определения равновесия системы и исследование на устойчивость. Определение критериев устойчивости

Дано: ОА=ОВ=ℓ ; с – коэффициент жесткости пружины, ℓ-длина нерастянутой пружины .

П отенциальная энергия системы равна

П=П₁+П₂=

Удлинение пружины составляет

=…..=

Потенциальная энергия системы равна

П=

_{Т.к. равновесие в системе будет при условии}

= 0

очевидно, что равенство справедливо в двух случаях:

1)

2) Откуда:

Эти равновесные положения исследуем на устойчивость:

1) при откуда:

2) при откуда

Потенциальная и кинетическая энергия системы в обобщенных координатах Гармонические колебания

Для системы с s-степенью свободы потенциальная энергия, есть функция обобщенных координат

Разложим ее в ряд Маклорена по степеням q:

П(q₁….q₅)=П(0)+ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Учитывая, что

то

или сокращенно

,

где с - обобщенный коэффициент жесткости системы или квазирующий коэфициент.

Аналогично, рассматривая кинетическую энергию системы, получаем:

,

где а - обобщенный коэффициент инерции системы.

Рассмотрим движение системы, которое возможно относительно равновесного положения, т.е. составим дифференциальное уравнение движения:

если

; П= ,

то по уравнению

Правая часть уравнения Лагранжа:

; тогда

или

(1)

Уравнение (1) - уравнение свободных или гармоничных колебаний.

характеризует циклическую частоту собственных колебаний системы, которые зависят от жесткости системы с и инерционности.

(2)

или

, (3)

где А – амплитуда.

При t=0:

Получаем уравнение амплитуды:

Период колебаний равен

Независимость периода от амплитуды – изохронность колебаний.

Пример: Н айти частоту собственных колебаний балки.

А= ;

=

П =

Подставим П и Т,

или

где с - жесткость рессора.