- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Геометрические св-ва:
- •Алгебраические св-ва:
- •Выражение сп в дпк:
- •Вопрос 3.
- •Геометрические св-ва вп.
- •Вопрос 4.
- •Вопрос 5.
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7.
- •Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой).
- •Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •Вопрос 8.
- •Точка пересечения прямой и плоскости.
- •Вопрос 9.
- •Предел функции.
- •Арифметические операции над функциями.
- •Доказательство?!?!
- •Первый и второй замечательный пределы.
- •Вопрос 10.
- •Доказательство?! (доказывается с помощью пределов:
- •Вопрос 11.
- •Геометрический смысл:
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •Вопрос 14.
- •Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
- •Основные свойства неопределенного интеграла:
- •Интегрирование заменой переменной и по частям.
- •Вопрос 15.(посмотри в никишкине)
- •Интегрирование рациональных выражений.
- •Интегрирование некоторых иррациональных
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 16.
- •Понятие определенного интеграла.
- •Предел интегральной суммы
- •Вопрос 17.
- •Вопрос 18.
- •Вопрос 19.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Вопрос 20.
Интегрирование тригонометрических функций.
1°. Интегралы вида
находятся с помощью тригонометрических формул
2°. Интегралы вида
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени
Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
Вопрос 16.
Понятие определенного интеграла. Предел интегральной суммы.
Понятие определенного интеграла.
Определенный интеграл (Римана) позволяет распространить формулу площади прямоугольника на площадь более или менее произвольной плоской геометрической фигуры. В основе понятия определенного интеграла лежит так называемая интегральная сумма, определяемая следующим образом. Пусть задана функция , определенная на отрезке . Разобъем отрезок произвольным образом на частей , , ( , ). В частности, можно разбить на равных частей, тогда длина каждого отрезка разбиения будет равна . В общем случае, пусть
.
Возьмем, опять же произвольным образом, внутри каждого из отрезков по точке . Интегральной суммой функции на по разбиению называется число
Если , то интегральная сумма есть площадь фигуры, состоящей из прямоугольников со сторонами и , . Интуитивно ясно, что, чем меньше максимальная длина отрезков разбиения , тем точнее эта фигура из прямоугольников приближает криволинейную трапецию с основаниями , и “боковыми сторонами” , . Интеграл от функции по отрезку есть предел по всевозможным разбиениям , когда .
Предел понимается здесь в обычном смысле: число называется определенным интегралом от по (обозначается как ), если для произвольного найдется такое , что, как только разбиение отрезка удовлетворяет условию , интегральная сумма , отвечающая этому разбиению, будет отличаться от не больше, чем на : .
Предел интегральной суммы
Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.
1. С помощью точек х0=а, x1, х2, ..., хn = В (х0 <x1 < ...< хn) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х0;х1], [x1; х2],..., [хn-1,хn] (см. рис. 167).
2. В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку сi є [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi).
3. Умножим найденное значение функции ƒ (сi) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi.
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1,2,..., n).
5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,
Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.