Вопрос 9.
Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Первый и второй замечательные пределы
Предел функции.
Число
bназывается
пределом функции y=f(x)
в точке a(b=
),
если для любой последовательности
соответствующая последовательность
сходится к числу b.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке а (при x→a), если = 0.
Функция f(x) называется бесконечно большой при x→a, если = ∞.
Арифметические операции над функциями.
Теорема.
Пусть
= а и
= b,
где a
и b
- числа, тогда:
±
)=a±b
) = a b
=
(b≠0)
Доказательство?!?!
Первый и второй замечательный пределы.
Первый зам. предел:
=
=
=1
Замена сомножителей на эквивалентные:
s
in
x
x
ln
(x+1)
x
при x
.
tgx x
ex
x
Две
функции эквивалентны при x
a,
если
=1
Второй зам. предел:
=
= e,
где е – основание натурального логарифма.
ёё
Вопрос 10.
Непрерывность функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Точки разрыва функции и их классификация.
Непрерывность функции в точке. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=a , если предел функции в этой точке равен значению ф-ии в этой точке:
=f (a)
Арифметические операции над непрерывными функциями. Пусть f(x) и g(x) заданы на множестве {x}. Если эти функции непрерывны в т. х=а, то функции f(x)±g(x), f(x)·g(x),
непрерывны в точке х=а.
Доказательство?! (доказывается с помощью пределов:
±
)=
±
)
=
=
(
≠0)
)
Точки разрыва функции и их классификация. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.
а) устранимый разрыв: точка а называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если существует , но в т. а f(x) либо не определена, либо f(a) ≠ .
Пример:
f(x)
=
Точка х = 0 – точка устранимого разрыва.
б) разрыв первого рода
Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
Существуют левосторонний предел
и
правосторонний предел
;
Эти односторонние пределы конечны.
Пример:
f(x)
=
,
точка а=
0 – точка разрыва первого рода
в) разрыв второго рода
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример:
f(x)
=
,
точка а=
0, функция бесконечно большая при х
, следовательно – точка
а - точка
разрыва второго рода
Вопрос 11.
Понятие производной. Физический и геометрический смысл производной. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой
Производная функции – есть предел отношения приращения ф-ии f(х)-f(x0) к приращению её аргумента ( x-x0 ) при условии, что последнее стремится к 0.
f'’
(x)=
