Вопрос 7.

Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой). Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

1. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть N(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим вектор MN = {x − x₀,  y − y₀,  z − z₀} (рис.1).

Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору  {m;n;p} , т.е. когда их координаты пропорциональны:

= = (1)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Одна или две координаты направляющего вектора прямой   могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.Если в (1) ввести параметр t

= = = t

то уравнения прямой можно записать в виде

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой).

 

При условии, что две плоскости непараллельные, т.е их нормальные векторы неколлинеарные.

3. Угол между двумя прямыми в пространстве.

Углом между двумя прямыми в пространстве называют любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными из одной точки, параллельно данным прямым. Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным 0 или .

Пусть даны уравнения двух прямых:

= = и = =

Обозначим угол между прямыми через , а угол между их направляющими векторами и – через . При этом = . Так как , или = то cos = cos .

Следовательно, cos = или в координатной форме:

cos =

4. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Для того, чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы и были коллинеарны, т.е. соответствующие координаты векторов и были пропорциональны:

= = – условие параллельности

Для того, чтобы прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы и были ортогональны:

m1m2+n1n2+p1p2=0 – условие перпендикулярности

Вопрос 8.

Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

1. Точка пересечения прямой и плоскости.

Будем считать, что плоскость     задана точкой и двумя векторами и Прямая в пространстве задана двумя точками и . Если точка является точкой пересечения плоскости и прямой , то ее координаты должны удовлетворять уравнению . С другой стороны, точка  принадлежит прямой : . Подставив в уравнение принадлежности точки к плоскости получим следующее: . Откуда следует, что:

      (1.1).     Отметим, что значком  мы обозначаем векторное произведение, значком  - скалярное произведение двух векторов, а значком - мы обозначаем произведение двух скалярных величин или произведение скаляра на вектор или матрицу.

2. Углом между прямой и плоскостью называется любой из смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть дано уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 и уравнение прямой l : = = , нормальный вектор плоскости, ={m;n;p} – направляющий вектор прямой.

Обозначим угол между векторами и через , а угол между плоскостью и прямой - через . Найдем cos :

cos =

При этом sin = cos , значит sin = или в координатной форме:

sin =