2. Геометрический смысл:

а) s- секущая, k – касательная, s|| k

= – тангенс угла наклона касательной

Физический смысл:

Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени

Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.

4. Производные основных элементарных функций

5. Дифференцирование сложной функции

Пусть задана сложная функция y=f[g(t)],где x=g(t) и y=f(x). Функция x=g(t) дифференцируема в точке t₀, а функция y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке х₀=g(t₀). Тогда сложная функция f[g(t)] дифференцируема в точке t_0, причем (f[g(t)])’= f’(x₀)g’(t₀)

6. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке. Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b].Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Уравнение нормали: y =  · (x − x₀) + f (x₀)

Вопрос 12.

Производные высших порядков.

1. Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¢ .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).

Вопрос 13.

Интервалы возрастания и убывания функции. Критические (стационарные) точки функции. Экстремумы функции. Направление выпуклости графика функции (вверх, вниз). Точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.