- •1.Постановка злп.
- •2.Запишите злп в форме озлп.
- •4.Запишите злп в форме кзлп.
- •5.Приведите озлп к каноническому виду.
- •6.Приведите ОснЗлп к каноническому виду.
- •7.Перечислите свойства множества планов р.
- •8.Дайте определение оптимального плана кзлп.
- •9.Какая злп называется разрешимой?
- •10.Дайте определение выпуклого множества.
- •11.Дайте определение гиперплоскости.
- •12.Дайте определение полупространства.
- •21.Дайте определение к-матрицы кзлп.
- •22.Сформулируйте связь между опорным планом и к-матрицей.
- •23.Число опорных планов конечно или нет?
- •24.Какого числа не превышает количество опорных планов кзлп?
- •25.Сформулируйте связь между опорным планом и крайней точкой.
- •26.Сформулируйте утверждение о существовании оптимального опорного плана.
- •27.Дайте определение симплекс-разности.
- •28.Сформулируйте критерий оптимальности в алгоритме симплекс-метода.
- •29.Сформулируйте критерий отсутствия решений в алгоритме симплекс-метода.
- •30.Сформулируйте основные моменты, которые должен содержать любой конечный алгоритм решения злп.
- •32.Дайте определение р-матрицы кзлп.
- •33) Дайте определение псевдоплана кзлп.
- •34) Сформулируйте критерий отсутствия решения в алгоритме р-метода.
- •35) В каком случае к решению злп необходимо применять двухэтапный симплекс-метод?
- •36) Какие злп не могут быть решены симплекс-методом?
- •1) Постановка злп.
- •2) Запишите злп в форме озлп.
1.Постановка злп.
Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования приводится широкий круг вопросов планирования экономических и технико-экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения; само возникновение и развитие линейного программирования непосредственно связано с экономической проблематикой. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.
2.Запишите злп в форме озлп.
Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) может быть сформулирова-
на следующим образом: найти значения переменных Х1, Х2,…,Хn, максимизирующие ли-нейную форму
f (x1,x2,…,xn) = c1x1+…+cnxn (3.1)
при условиях
n
∑aij xj ≤ b i = 1,…, m1 (m1 ≤ m) , (3.2)
j=1
n
∑aij xj = bi = m1 + 1,…, m ,
j=1
xj ≥ 0, j = 1,…, p (p ≤ n) . (3.3)
Соотношения (3.2) и (3.3) будем называть соответственно функциональными и
прямыми ограничениями задачи линейного программирования (ЗЛП).
Значения переменных Хj
(j = 1, 2,…, n) можно рассматривать как компоненты неко-
торого вектора Х = (Х1, Х2,…, Хn) пространства Еn.
3.Запишите ЗЛП в формОснЗЛП.
ЗЛП во многих случаях оказывается ассоциированной с задачей распределитель-ного типа или с задачей производственного планирования, в которой требуется распре-
делить ограниченные ресурсы по нескольким видам производственной деятельности.
Такую ЗЛП можно поставить следующим образом: найти значения переменных
Х1,Х2,…,Хn, максимизирующие линейную форму
n
f (x_) = ∑ cj xj (3.4)
j=1
при условиях
n
∑aij xj ≤ bi , i = 1,…, m , (3.5)
j=1
xj ≥ 0, j = 1,…, n (3.6)
или в векторно-матричной форме
f (x ) = (c, x ) → max (3.7)
A x ≤ b (3.8)
x ≥ о , (3.9)
где c = (с1, с2,…, сn); b = (b1, b2,…, bm); А = (aij) – матрицы коэффициентов ограничений
(3.5). Задача (3.4) – (3.6) или (3.7) – (3.9) называется основной ЗЛП. Основная ЗЛП является частным случаем общей ЗЛП при m1 = m, p = n.
4.Запишите злп в форме кзлп.
Для построения общего метода решения ЗЛП разные формы ЗЛП должны быть приведены к некоторой стандартной форме, называемой канонической задачей линейного программирования (КЗЛП).
В канонической форме:
1) все функциональные ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью
все переменные неотрицательны
целевая функция подлежит максимизации
Таким образом,
КЗЛП имеет вид:
f(x)=∑cj xj →max
∑aijxj =bj, i=1,...,m
xi ≥ 0, j =1,...,n; bi ≥ 0; i =1,...,m
или в векторно-матричной форме
f (x) = (c, x) → max
Ах =b
x≥0, b≥0
КЗЛП является частным случаем общей ЗЛП при m1 = 0, p = n
Любую ЗЛП можно привести к каноническому виду, используя следующие правила:
а) максимизация целевой функции f (x) = c1x1+...+cnxn равносильна минимизации
целевой функции: f (x) =-c1x1 -...-cnxn
б) ограничение в виде неравенства, например, 3Х1 + 2Х2 – Х3 ≤ 6, может быть приведено к стандартной форме 3Х1 + 2Х2 – Х3 + Х4 = 6, где новая переменная Х4 неотрицательна. Ограничение Х1 – Х2 + 3Х3 ≥ 10 может быть приведено к стандартной форме Х1 – Х2 + 3Х3 – – Х5 = 10, где новая переменная Х5 неотрицательна
в) если некоторая переменная Хk может принимать любые значения, а требуется, чтобы она была неотрицательная, ее можно привести к виду X = X′ − X′′,где X′ ≥0и X′′ ≥0.