23. Доверит. Инт-лы для оценки мат. Ожид. Норм. Распр. При неизвестном σ

Пусть изучаемый признак Х им. норм. распр. Построим по выборке доверит. инт-л для оценки a.

Несмещенной и состоятельной оценкой мат. ожид. явл. выбор. ср. знач-е . Пусть σ неизвестно. В этом случае доверит. инт-л б. им. аналог. вид, только вместо σ нужно подставить его оценку: .

В рез-те доверит. инт-л им. вид tγ определ-cя по табл. распр. Ст. на основании y и числа степеней свободы n-1. Т.к. при n→∞ распр. Ст. быстро стрем-ся к норм., то при больших объемах выборки (n>100) при нахождении tγ м. польз-ся табл. ф-ции Лапласа.

24. Распр-е χ2 (Xи- квадрат), Стьюдента и Фишера.

Пусть 1…n независимы и им. стандартн. норм. распр. Тогда случ. величина χ_n²=ξ₁² +…+ξ_n² наз. распределен. по закону χ² с n степенями свободы. Мат. ожид. и дисп. распр. χ² Mχ_n²=n, Dχ²=2n.

Плотность распр. χ²

Распр-е Стьюдента. Пусть 1 и 2 независимы 1 распределена по станд. норм. закону, 2 распределена по закону χ² с k степенями свободы, тогда случ. величина наз. распределен. по закону Стьюдента с k степенями свободы.

. Плот-ть распр. Стьюд.

При k→∞ распр. Ст. быстро стрем-ся к норм. Мат. ожид. и дисп. распр. Ст. .

Распр. Фишера. Пусть 1 и 2 независимы и им. распр. χ² с k₁ и k₂ числом степеней свободы. Тогда наз. распределен. по закону Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

Плот-ть распр. Ф.

Замечание. Табличн. знач-я случ. величины Ф. всегда больше 1.

25. Проверка статистических гипотез.

Стат. гипотезой наз. гипотеза о виде неизвестн. распр. или о пар-рах известного распределения. Нулевой/ основн. наз. выдвинутая гипотеза H₀. Конкурирующей/ альтернативной наз. гипотеза H₁, кот. противоречит нулевой. Стат. критерием наз. случ. величина, кот. служит для проверки гипотезы H₀. При проверке стат. гипотез возможно возникнов-е ошибок. Ошибка 1-го рода возник., когда мы отвергаем правильн. нулев. гипотезу. Вер-ть совершить ошибку 1-го рода наз. ур-нем значимости и обознач-ся α: Р(Н₁/Н₀)=α. Ошибка 2-го рода возник., когда мы отвергаем правильн. гипотезу H_1. Вер-ть совершить ошибку 2-го рода обознач-ся β: Р(Н₀/Н₁)=β.

Величину ошибки 1-го и 2-го рода исследователь выбир. самост-но, близкую к нулю: 0,01; 0,05; 0,001.

Отметим, что невозм-но одновр. уменьшать ошибки 1-го и 2-го рода, т.к. речь идет об одних и тех же гипотезах.

Знач-е стат. критерия, при кот. H₀ приним., наз. областью принятия гипотезы. Знач-я критерия, при кот. гипотезу H₀ отверг., наз. критическ. областью.

Точка, кот. отделяет эти области, наз. критической. Правосторон. наз. критическ. область, определяем. нерав-вом К>К_кр, К_кр >0. Левостор. наз. критич. область, определ. нерав-вом К<К_кр, К_кр <0. Двустор. наз. критич. область, определ.. нерав-вом К<К_кр^’, К>К_кр^’’.

Проверка стат. гипотез осущ-ся след. обр.: 1)по выборке вычисл-ся наблюдаемое знач-е критерия (К_набл). 2)если К_набл попало в критич. область нулев. гипотезу отверг., а если в область принятия гипотезы, то H₀ принимают.