7. Функция распределения вероятности и ее свойства.
Пусть
ξ-случ. величина и х—произвольн.
действит. число. Вер-ть того, что ξ примет
знач-е, < чем х, назыв. ф-ей распред-я
вер-тей:
.Случ.
назыв. величина, знач-я кот. зависят от
случая и для кот. определена ф-я распред-я
вер-тей. Дискретн. назыв. случ. величина,
кот. приним. конечн./счетное множ-во
значений. Под счетным множ-вом
поним-ся множ-во натур. чисел (чисел
употребляемых при счете). Для полн.
вероятностн. хар-ки дискретн. случ.
величины необх-мо знать ее закон
распред-я. Пусть хi–возможн.
знач-я случ.величины ξ,рi=P(ξ=xi)—вер-ти
этих знач-ий.
Множ-во пар (xi,pi),i=1,2,… назыв. законом распред-я вер-тей дискр. cлуч. величины. Обычно зак. распр-я изображ-ся в виде таблицы:….Непрер. наз. случ. величина, знач-я кот. заполняют сплошь некот. промежутки. Ф-я распр-я вер-тей явл. неслуч. ф-цией, вычислен. на основании зак. распр-я случ. величины.
Св-ва
ф-ции распр.: 1)
хϵR,
0≤F(x)≤1,т.к.
это вер-ть.
2) F(x)–неубыв. ф-я.
Следствия: 1)Вер-ть попадания случ. велич. в задан. инт-л—приращ-е ф-ции распр. на этом инт-ле:
2)Вер-ть
принять одно фиксир. знач-е для непрер.
случ. велич.=0.
,при
т.к. ф-я распр. непрер. случ. велич. непрер. 3)Вер-ть попадания непрер. случ. величины в откр./ замкнут. промежуток одинакова:
4)F(x) непрер. слева в кажд. точке хϵR. 5) F(-∞)=0. 6) F(+∞)=1.
8. Плотность распр. Вероятностей и ее свойства.
Плотностью
распределения вер-тей случ. велич.
назыв. производная
ф-ции распр.:
.
Св-ва:
1)
,
,
т. к. это производн. неубыв. ф-ции. 2)
3)
4)Св-во
нормировки:
.В
частности, если все возможн. знач-я
случ. велич. заключены в инт-ле от a
до b,
то
.
Случ. велич. назыв. распределен.
по равномерн. закону,
если ее плотность вер-ти приним. постоян.
знач-е в пределах задан. инт-ла.
9. Математическое ожидание и его свойства.
Для
теории вер-тей и ее приложений больш.
роль игр. некот. неслуч. числа, вычислен.
на основании законов распред-я случ.
величин. Мат.
ожид.
дискр.
случ. велич.
с законом распр.
,
,наз.
сумма ряда
,если
этот ряд сходится абсолютно. Замечание:
Если
мат. ожид.=бескон-ти, то говорят, что оно
не существ.
Мат.
ожид. непрер. случ. велич.
с плотностью вер-ти р(х) наз. интеграл
=
если
он сходится абсолютно.
Св-ва
мат. ожид.: 1) МС=С. 2)Мат. ожид. суммы случ.
величин=сумме их мат. ожиданий:
.
3)Для независ. случ. величин ξ1 и ξ2 мат. ожид. произведения=произвед-ю мат. ожиданий
=
.
Следствие:
Постоян.
множитель выносится за знак мат. ожид.
.
4)Мат. ожид. отклонения случ. величины от ее мат. ожид=0: М(Х-МХ)=0
10. Дисперсия и ее свойства.
Дисперсией
наз.
мат. ожид. квадрата отклонения случ.
величины
от своего мат. ожидания:
.
Выполним преобразования:
,
.
Для дискр. случ. велич. с законом распр. дисперсия равна
Дисперсия характер. рассеяние возможн. значений вокруг своего мат. ожидания. Для непрер. случ. велич. с плотностью вер-ти р(х) дисперсия равна
Ср.
кв. отклон.
наз., корень квадр. из Д-сии
.
Св-ва Д-сии: 1)Д. постоянной равна нулю.
.
2)Для независ.
случ. велич. Д. суммы равна сумме дисперсий
.
3)Если
и
=
const,
то
