- •1.Случайные события. Действия над ними
- •3. Формулы комбинаторики. Гипергеом. Распред-е.
- •4. Условная вероятность. Независимость событий.
- •5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •8. Плотность распр. Вероятностей и ее свойства.
- •9. Математическое ожидание и его свойства.
- •10. Дисперсия и ее свойства.
- •11.Коэффициент корреляции и ковариации
- •12. Осн. Дискр. Распределения случайных величин.
- •13. Равномерное показательное распределение.
- •15. Закон больших чисел (збч).
- •16. Центральная предельная теорема.
- •17. Выборочный метод.
- •18. Эмпирическая функция распределения.
- •19. Полигон и гистограмма.
- •20. Числовые характеристики выборки.
- •21. Точечное оценивание.
- •22. Доверительные интервалы.
- •23. Доверит. Инт-лы для оценки мат. Ожид. Норм. Распр. При неизвестном σ
- •24. Распр-е χ2 (Xи- квадрат), Стьюдента и Фишера.
- •25. Проверка статистических гипотез.
- •26. Критерий согласия Пирсона.
- •27. Вычисление теор. Частот для норм. Распр.
- •28. Парная регрессия.
- •29. Парный коэффициент корреляции.
- •30. Проверка гипотез о достоверности коэф. Кор.
4. Условная вероятность. Независимость событий.
Часто интересует вер-ть появл-я С-я А после того, как некотор. С-е В уже произошло. Такую вер-ть назыв. условн. и обознач. P(A/B). Условн. вер-ть—С-я А при условии, что С-е В уже произошло,
Аналогично, условн. вер-ть С-я B при условии, что С-е A уже произошло,
Из этого следует теорема умножения (вер-ть произвед-я 2-х произвольн. С-тий равна произвед-ю вер-ти одного из С-тий на условн. вер-ть второго, при условии, что первое уже произошло): Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В).
Распространим теорему умножения на конечное число событий: Р(А1...Аk)=P(A1)P(A2/A1)•…•P(Ak/A1A2…Ak-1). Вер-ть совместн. появления нескольк. произвольн. С-тий равна произвед-ю вер-ти одного из них на условн. вер-ти всех остальных, причем вер-ть каждого последующего С-я вычисл-ся в предположении, что все предыдущие С-я уже произошли.
С-я А и В назыв. независимыми, если вер-ть их произвед-я=произведению вер-тей этих С-тий: Р(АВ)=Р(А)Р(В). Для независ. С-тий, получим: Р(АВ)=Р(В)Р(А/В). След-но, для независ. С-тий условн. и безусловн. вер-ти совпадают: Р(А/В)=Р(А).
Для конечн. числа независ. С-тий вер-ть произвед-я= произвед-ю вер-тей:
.
5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Пусть С-е А м. произойти только с одним из n несовместн. С-тий H1…Hn, образующих полную группу: HiHj= Ø, i≠j, H1+…+Hn= , тогда A=AH1+AH2+…+AHn.
Т.к. С-я Hi и Hj несовместны, то и (AHi) и (AHj) явл. несовместными. Тогда по теореме сложения
Применяя теор. умнож-я (Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)= =Р(В)Р(А/В)) к кажд. слагаемому, получим формулу полной вероятности:
С-я H1, H2,…, Hn часто назыв. гипотезами. Иногда интересует, как перераспределятся вер-ти гипотез после того, как С-е А уже произошло:P(Hj/A).По теор. умнож-я P(AHj)=P(A)P(Hj/A)=P(Hj)P(A/Hj)
Подставляя в знаменатель формулу полн. вер-ти, получим формулу Байеса:
6. Схема независимых испытаний Бернулли.
Пусть производится последоват-ть n независ. испытаний, каждом из кот. возможно только 2 исхода: С-е А или появится или не появится.
Обозначим вер-ть появл-я С-я Р(А)=р, непоявл-я ,p+q=1.
Элемент. С-е в схеме Бернулли понимается последоват-ть наступлений и ненаступлений С-я А в n испытаниях.
Обозначим А={1}, ={0}. Тогда элемент. исход м. представить в виде вектора, состоящего из нулей и единиц: (1,0,…, 1).
Найдем вер-ть того, что в n испытаниях С-е А появится ровно m раз. Найдем сначала вер-ть того, что в 3-х испытаниях С-е А появится 2 раза при условии, что вер-ть наступл-я в одном испытании=p. При этом возможны след. элемент. исходы: (1,1,0); (0,1,1); (1,0,1).
Вер-ть кажд. элемент. исхода одинакова и=p2q. Т.обр., вер-ть того, что в 3-х испытаниях С-е наступит 2 раза
.
Для произвольн. m и n вер-ть одного элемент. исхода= pmqn-m . Число таких элемент. исходов=числу сп-бов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли
.
Часто интересует вер-ть появл-я С-я А не ровно m раз, а от m1 до m2 раз включит-но
.