
- •1.Случайные события. Действия над ними
- •3. Формулы комбинаторики. Гипергеом. Распред-е.
- •4. Условная вероятность. Независимость событий.
- •5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •8. Плотность распр. Вероятностей и ее свойства.
- •9. Математическое ожидание и его свойства.
- •10. Дисперсия и ее свойства.
- •11.Коэффициент корреляции и ковариации
- •12. Осн. Дискр. Распределения случайных величин.
- •13. Равномерное показательное распределение.
- •15. Закон больших чисел (збч).
- •16. Центральная предельная теорема.
- •17. Выборочный метод.
- •18. Эмпирическая функция распределения.
- •19. Полигон и гистограмма.
- •20. Числовые характеристики выборки.
- •21. Точечное оценивание.
- •22. Доверительные интервалы.
- •23. Доверит. Инт-лы для оценки мат. Ожид. Норм. Распр. При неизвестном σ
- •24. Распр-е χ2 (Xи- квадрат), Стьюдента и Фишера.
- •25. Проверка статистических гипотез.
- •26. Критерий согласия Пирсона.
- •27. Вычисление теор. Частот для норм. Распр.
- •28. Парная регрессия.
- •29. Парный коэффициент корреляции.
- •30. Проверка гипотез о достоверности коэф. Кор.
11.Коэффициент корреляции и ковариации
Ковариацией
случ. величин 1,
2
наз. мат.
ожид. произведения отклонений случ.
величин от своих
мат. ожиданий.
Св-ва
ков.: 1)
2)Для
независ. случ. величин ковариация=0
Обратное
не верно. М. привести пример, когда
ков.=0, но случ. величины зависимы.
3)Постоян. множитель выносится за знак
ков.
4)
Ков. служит для качеств. хар-ки завис-ти м/у случ. величинами.
Коэф-том корреляции называется
Св-ва
коэф. кор.: 1)
.
2)Если 1
и 2
независ., то коэф. кор.=0. Обратное не
верно. Если p=0,
то говор., что 1
и 2
некоррелированы. 3)Если 1
и 2
связ. лин. завис-тью
,
то
Причем, если a>0,
то
;
если a<0,
то
.
Если
,
то говор., что 1
и 2
связ.
кор. завис-тью, тем более тесной, чем
ближе
к 1.
Коэф. кор. служит для количествен. хар-ки завис-ти случ. величин.
12. Осн. Дискр. Распределения случайных величин.
Рассмотрим
схему Бернулли. Производ-ся послед-ть
n
независ. испытаний, в кажд. из кот.
возможно только 2 исхода Р(А)=р, Р(Ā)=q,
p+q=1.
Возможн. знач-я этой величины
μ:0,1,…,m,…,n.
Вер-ть принять эти знач-я вычисл-ся по
формуле Бернулли:
Закон
распр. диск. cлуч.
велич., определяем. по формуле наз.
биномиальным.
Бином. распр. им. 2 пар-ра: n
и p.
Найдем их вероятностн. смысл. Для этого
вычислим мат. ожид. и дисперсию. Случ.
велич. μ м. представ. в виде суммы
независ. слагаемых μ=μ1+μ2+…+μn,μi–число
появлений соб-я А в одном (i—ом)
испытании.
Закон распр. μi.
Мат. oжид.:
Дисперсия: Dμ=npq,
σμ=корень из npq
Распр.
Пуассона. Возможн.
знач-я случ. велич. :0,1,...,m,…Распр.
Пуассона
наз. распр. вер-тей дискр. случ. величины,
определяем. формулой
где
a-пар-р
распр. Пуассона.
Найдем
числов. хар-ки этого распр.
.Для
вычисл-я дисп. рассмотрим рав-во
Итак, характерн. св-вом распр. П. явл.
рав-во мат. ожид. и дисп.: Мξ=а, Dξ=a.
Геом. распр. Производ-ся послед-ть независ. испытаний, в кажд. из кот. возможно только 2 исхода Р(А)=р, Р(Ā)=q, p+q=1. Испытания произв-ся до появл-я события А. Возможн. знач-я случ. величины =1,...,m,...
вер-ти
этих значений
Геом.
распр. наз.
распр. дискр. случ. велич. ,
определяем. формулой.
Геом.
распр. им. один пар-р p.
Мат. ожид. и дисп.:
Вероятностн.
смысл пар-ра р–велич., обратная мат.
ожид.
13. Равномерное показательное распределение.
Плотность
распр.:
График плотности вер-ти равном. распр.
Ф-я распр.:
График
ф-ции равном. распр. Равном. распр. им.
2 пар-ра a
и b.
Мат. ожид. и дисп.:
,
.
Показат.,
наз.
распр. вер-тей непрерывн. случ. велич.,
кот. описыв-ся плотностью
Показат.
распр. им. 1 пар-р λ. График плотности
вер-ти показат. распр.
Ф-я
распр.:
,
,
Характерн.
св-вом показат. распр. явл. рав-во мат.
ожид. и среднеквадратич. отклонения:
.
14. Норм. (распр. Гаусса), назыв. распр. вер-тей непрер. случ. величины, кот. описыв-ся плотностью
,
.
График плотности норм. распр.
Норм.
распр. определ-ся 2 пар-рами а и σ. М.
показ., что Мξ=а, Dξ=a2,
σξ=σ. При a=0
и σ=1получим станд. норм. распр.:
.
Ф-я станд. норм. распр. им. вид
наз.
функцией
Лапласа.
Ф-ции
Ф0(х)
и Ф(х) связ. м/у собой соотнош-ем
.
Вер-ть
попадания норм. случ. велич. в задан.
инт-л:
.
Вер-ть задан. отклонения от мат. ожид.
для норм. случ. величины
.
Преобраз. данную формулу положив
,
получим
.
Правило трех сигм: Если случ. велич. распределена нормально, то с вер-тью, близкой к единице, абсолютн. велич. ее отклон-я от мат. ожид. не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.