Вільні коливання

Вільні коливання виникають у разі виведення пружної механічної системи з рівноваги. Це може бути виконане шляхом швидкого зняття статичного навантаження або миттєвим прикладанням та зняттям зовнішньої сили. В результаті з’являються переміщення з прискоренням змінної величини, які називають вільними коливаннями.

Кількість незалежних координат, які вказують положення центру мас, що коливаються, визначають ступінь вільності системи. Значна кількість задач, що розглядається в практиці дослідження вібрацій, може бути зведена до розгляду механічних систем з одним ступенем вільності.

Розглянемо, як приклад, вільний рух невагомого стержня з зосередженою масою m, що виведений з рівноваги (рис.7.1)

Рисунок 7.12.

На масу m будуть діяти сили: інерції, сили опору, що пропорційні швидкості маси та сили пружності (пропорційні переміщенню маси).

Рівняння руху можна отримати з рівняння рівноваги маси:

(7.1)

Рівняння (7.1) може бути зведене до вигляду:

, (7.2)

де

;

В рівняннях (7.1) та (7.2)

b — коефіцієнт, що характеризує сили опору, пропорційні швидкості (внутрішнє тертя, в’язке тертя) або постійна деформування,

k — коефіцієнт жорсткості,

с — показник затухання коливань,

w₀ — кругова власна частота.

Розв’язок рівняння (7.2) можна представити [1] сумою 2–х (відповідно порядку рівняння) складових вигляду

(7.3)

При цьому, в залежності від співвідношення с та ω₀, можливі три випадки: с >ω₀, с = ω₀, с < ω₀, (рис.7.2). У випадку c > ω₀ маємо λ як дійсні та від’ємні. При t→ , y→ (рис.7.2)

Рисунок 7.13. Графік різновидів вільних коливань.

38

Розглянемо, як приклад, вільний рух невагомого стержня з зосередженою масою m, що виведений з рівноваги (рис.7.1)

Рисунок 7.14.

На масу m будуть діяти сили: інерції, сили опору, що пропорційні швидкості маси та сили пружності (пропорційні переміщенню маси).

Рівняння руху можна отримати з рівняння рівноваги маси:

(7.1)

Рівняння (7.1) може бути зведене до вигляду:

, (7.2)

де

;

В рівняннях (7.1) та (7.2)

b — коефіцієнт, що характеризує сили опору, пропорційні швидкості (внутрішнє тертя, в’язке тертя) або постійна деформування,

k — коефіцієнт жорсткості,

с — показник затухання коливань,

w₀ — кругова власна частота.

40

Особливості коливального процесу в багатомасових системах

Системи з двома ступенями вільності, тобто з двома зосередженими масами, мають дві власні частоти коливань. Переміщення мас можна отримати, як розв’язок системи диференційних рівнянь другого порядку, записаних для коливань відповідно першої та другої маси.

Аналогічно доведено, що будь-яка пружна система з n ‑ ною кількістю зосереджених мас має відповідне число власних частот коливань. Найнижча частота називається основною, останні — вищими.

Таким чином, переміщення будь - якої з n – мас визначається сумою n – членів, кожний з яких представляє незалежну гармонічну функцію з частотою w_і, фазовим кутом α_і та амплітудою А_i. При n масах маємо n диференційних рівнянь другого порядку.

Зі збільшенням числа зосереджених мас пружної системи знаходження частот вільних коливань стає обтяжливим. В цих випадках для практичних розрахунків рекомендують користуватися методами Релея чи Дункерлея, які дозволяють порівняно просто визначити основну, тобто найнижчу, кругову власну частоту коливань пружної системи.

Рівняння Релея:

, (7.10)

де m_і — зосереджені маси;

у_іст — ординати пружної лінії під відповідними масами.

Рівняння Дункерлея:

, (7.11)

де ω_0і — кругові власні частоти коливань стержня з однією зосередженою масою m_i. Дійсне значення основної кругової власної частоти знаходиться між значеннями з рівнянь Релея та Дункерлея.

Для врахування маси самого стержня можна користуватись приблизним методом Лунца. Він полягає в тому, що до навантаження у прольоті додається 2/3 ваги стержня, яка розподіляється пропорційно основним навантаженням.

У разі розподіленого навантаження стержня можна використати наближене рівняння Релея:

, (7.12)

де q — інтенсивність розподіленого навантаження;

у_ст — ордината пружної лінії від розподіленого навантаження.

При громіздких виразах для у_ст можна замінити розподілену масу на декілька зосереджених мас.

41

Типовим для електропобутової техніки є навантаження масами, що обертаються. В цьому випадку збурюючою силою є відцентрова сила від незрівноваженої маси. При постійній кутовій швидкості Ω та ексцентриситеті е (рис.7.4) маємо гармонічні складові збурюючої сили, що діють відповідно в вертикальному та горизонтальному напрямках.

Рисунок 7.15 Складові збурюючої сили.

(7.13)

Параметри вимушених коливань.

Розглянемо невагомий вал, що обертається з кутовою швидкістю Ω, на якому знаходиться незрівноважена маса m з ексцентриситетом e (рис.7.5). Це приводить до появи у вертикальному напрямку збурюючої сили Q₀ × sin Ωt. Крім збурюючої сили на вал діють сили інерції, пружності та демпфіруючі, що розглядалися раніше при аналізі вільних коливань.

Рисунок 7.16. Розрахункова схема.

Рівняння рівноваги вала, з врахуванням всіх вище перелічених сил, має вигляд:

, (7.14)

або

(7.15)

після введення замін , отримаємо:

(7.16)

Розв’язок цього диференційного рівняння складається з суми загального розв’язку, знайденого раніше для вільних коливань (при с < ω₀) та з окремого.

Окремий розв’язок може бути представлений у вигляді суми двох гармонічних складових з частотами збурюючої сили.

(7.17)

Після диференціювання рівняння (7.17), підстановки отриманих значень та в рівняння (7.16) та розв’язку його відносно В та Д, отримаємо:

(7.18)

(7.19)

В результаті повний розв’язок диференційного рівняння (7.16):

(7.20)

Перший член розв’язку представляє затухаючі вільні коливання і після закінчення перехідного процесу (t стає досить великим) стає настільки малим, що ним можна знехтувати. В останні два члени рівняння (7.20)

42

При незначному демпфіруванні зближення ω₀ та Ω небезпечне надмірним зростанням амплітуди коливань, що випливає з рівняння (7.28).

При с ≠ 0 коефіцієнт β досягає максимуму не при Ω = ω₀ (рис.7.7), а при Ω дещо меншому, ніж ω₀.

Рисунок 7.17 Графіки коефіцієнта β.

Режим роботи, при якому амплітуда вимушених коливань набуває максимального значення, може бути отриманий з рівняння:

Використовуючи рівняння (7.27), а також правила диференціювання складних функцій, отримаємо:

44