![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе……………………………………………………………………………..…….………88
- •Введение
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •1.6 Критерий полноты в класее двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •I этап :
- •II этап :
- •II этап :
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместо в подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •Упорядоченные наборы а элементов n данных с возможными повторениями.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов из данных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов из п данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
Для любой булевой функции существует представление в виде полинома Жегалкина и это представление единственно.
Доказательство:
Пример 1:
-
x1
x2
x3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
Первая
часть теоремы следует из теоремы о
представлении булевой функции в виде
СДНФ. А именно рассмотрим для булевой
функции ее СДНФ. Далее операцию
выразим через операцию
по правилу Де Моргана
.
После
чего операцию
выразим через операцию
и приведем полученную формулу к
нормальному виду полинома Жегалкина
раскрыв скобки в полученном выражении,
используя дистрибутивность конъюнкции
по отношению к сумме по модулю два. Для
функции из примера1 СДНФ имеет вид :
Покажем, что полученный полином единственен с точностью до перестановки слагаемых и множителей в слагаемых полинома.
Допустим
противное :
,
которая имеет два различных полинома
Жегалкина:
Из этих равенств следует,что
прибавим
к обеим частям равенства
:
В
силу того, что
и
различные полиномы Жегалкина, либо в
есть слагаемое, которого нет в
,
либо наоборот. Поэтому приведенный
полином
отличен по форме от нуля
,
т.е. в этом полиноме присутствуют
слагаемые, не тождественно равные нулю,
и полином тождественно равен константе
ноль :
.
Далее
рассмотрим слагаемое полинома
,
содержащее наименьшее число переменных.
Теперь рассмотрим набор значений
переменных, в котором переменные данного
слагаемого равны 1, а все остальные
переменные равны 0. Тогда, нетрудно
видеть, что значение
на таком наборе равно 1 (в полиноме будет
ровно 1 только одно слагаемое с наименьшим
числом переменных, остальные обязательно
содержат нулевой множитель, поэтому
равны 0), в то время как
на всех наборах. Противоречие.
Упражнение: найдите полином Жегалкина следующих функций :
1)
4)
2)
5)
3)
6)
Упражнение
Покажите справедливость формулы для любой двоичной функции f справедливо разложение
л
Т.е в формуле представления функции в виде СДНФ можно заменить логическое суммирование на суммирование по модуля 2.
Определение
Пусть
– конечное множество. Отношением на
данном множестве будем называть любое
подмножество его декартового
произведения
.
Рассмотрим
декартово произведение
на себя:
.
Т.е. это множество всевозможных слов из
двух букв в алфавите
.
Определение
Отношением
эквивалентности
называется подмножество декартового
произведения, которое удовлетворяет
следующих трем свойствам:
Рефлексивность.
.
Симметричность.
.
Транзитивность.
.
Примеры отношения эквивалентности.
Пример
1.
Рассмотрим в качестве множества X
множество натуральных чисел:
.
Для него рассмотрим обычное равенство
натуральных чисел. Скажем, что два
натуральных числа эквивалентны, если
они равны в обычном смысле. Очевидно,
что это есть отношение эквивалентности.
Пример
2.
Рассмотрим произвольное натуральное
число
.
Числа x
и y
назовем эквивалентными
,
если они дают один и тот же остаток при
делении на
.
Очевидно, что это есть отношение
эквивалентности.
Пример
3.
Введем отношение эквивалентности на
множестве слов, длина которых не меньше
числа
.
Рассмотрим множество этих слов в алфавите
.
Скажем, что пара слов
и
эквивалентны, если совпадают их первые
букв. Убедитесь сами, что все три свойства
эквивалентности выполнены.
Утверждение.
Пусть
– множество,
– отношение эквивалентности на нем.
Тогда
разбивает все элементы
на классы эквивалентных элементов
(Любая пара различных классов не
пересекается между собой-
,
и их объединение совпадает с множеством
;
;
количество классов может быть бесконечным).
Любая пара элементов одного класса
эквивалентна, а любая пара элементов
различных классов не эквивалентна.
Данное разбиение однозначно определяется
отношением эквивалентности
.
Доказательство данного утвнрждения предлагается в качестве самостоятельного упражнения.
Определение: суперпозицией булевых функции
называется функция
,
полученная путем подстановки
функции
в
функцию
вместо
некоторой переменной:
.
Замечание 1
Множества переменных подставляемых функций могут пересекаться.
Замечание 2
Переименование
переменных есть частный случай
суперпозиций :
,
в которой вместо
подставлена функция
,
то есть
переименованна в
.
Определение
Будем различать переименование двух видов:
переименование с отождествлением, как в предыдущем примере (переменная переименуется в другую переменную этойже функции );
переименование без отождествления (когда переменная получает наименование, которого нет среди переменных функции).
Определение
Две функции назовем эквивалентными, если одну из другой можно получить переименованием переменных без отождествления.
Например
эквивалентны
и
.
Функции
и
не
эквивалентны, так как эквивалентные
функции имеют одинаковое число
существенных переменных.
Утверждение Двойственная суперпозиции функций- есть суперпозиция двойственных.
Доказательство
Тогда утверждение о представлении функции в виде СКНФ непосредственно следует из аналогичного утверждения о представлении функции в виде СДНФ.
Теорема о представлении любой булевой функции в виде СКНФ.
Теорема о представлении любой булевой функции в виде СДНФ : для любой булевой функции справедлива следующая формула :
Чтобы
провести это сведение возьмем двойственную
функцию
и представим ее в виде СДНФ:
,
тогда
справедливы выкладки:
Последнее
равенство справедливо в силу того, что
противоположные наборы к нулям функции
-
есть единицы двойственной функции
.
Используя
ранее полученное тождество
=
,
получаем требуемое разложение.
Замечание 3
Введеное отношение между функциями является отношением эквивалентности, и поэтому по основному утверждению разбивает все множество функций на классы эквивалентных функций- любая пара функций из одного и тогоже класса эквивалентны между собой, а любая пара функций из разных классов между собой не эквивалентны.
Замечание 3
В дальнейшем будем рассматривать функции с точностью до эквивалентности. То есть под функцией будем понимать класс эквивалентных фукций, в который входит данная функция.
Определение:
замыканием
системы
функций
называется множество функций
,
полученных из функций
всевозможными суперпозициями.
Пример
1:
Здесь принимается обозначение: слева от стрелки стоит исходная функция, над стрелкой – какая функция и вместо какой переменной исходной фукции производится подстановка, справа от стрелки результат подстановки.
Пример
2:
Упражнение
Покажите, что остальные подстановки не дают новых функций в указанных примерах.
Определение
:
замкнутой
системой функции называют систему,
замыкание которой совпадает с самой
системой
.
Пример
3:
Определение: система функций называется полной, если ее замыкание совпадает с классом всех булевых функций.(По другому говоря, с помощью суперпозиций функций из системы можно получить любую булевую функцию.)