![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе……………………………………………………………………………..…….………88
- •Введение
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •1.6 Критерий полноты в класее двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •I этап :
- •II этап :
- •II этап :
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместо в подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •Упорядоченные наборы а элементов n данных с возможными повторениями.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов из данных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов из п данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
5 Элементы комбинаторики.
5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
Упорядоченные наборы а элементов n данных с возможными повторениями.
Пример. Упорядоченные наборы 3-х элементов множества {1,2} — это упорядоченные множества
{111} {112} {121} {122} {211} {212} {221} {222}. Упорядоченные наборы называют также словами.
Теорема.
Число
упорядоченных наборов с возможными
повторениями а элементов из n
данных
есть n
.
Доказательство.
Пусть F
есть искомое число упорядоченных
наборов с повторениями
элементов
из n
данных. Тогда разобьем все упорядоченные
наборы на n
групп, где в i-тую
группу войдут те наборы, которые
начинаются на
-ый
элемент. В нашем примере, где n=
2 ,
=
3 группы выглядят так:
1: 111, 112, 121, 122;
2: 211, 212, 221, 222.
Тогда число наборов в каждой группе равно числу
упорядоченных
наборов
-1
элементов из n
данных, т. е. F
,
а число групп есть n.
Поэтому
Пример 1. Дан алфавит из n букв . Найти число различных слов длины в этом алфавите.
Решение. Нетрудно видеть, что это число равно числу упорядоченных
наборов
элементов из n
данных, т. е
.
Пример 2. Дано множество из n элементов . Найти число различных подмножеств этого множества.
Решение.
Для каждого подмножества введем
характеристический вектор длины n,
компонента i
которого равна 1, если
входит
в рассматриваемое подмножество, и 0 в
противном случае. Тогда характеристический
вектор (слово в {0,1} длины n)
однозначно определяет подмножество
множества
.
Поэтому число подмножеств равно
.
Пример
3.
Пусть дано V — множество
и множество Р некоторых упорядоченных
пар
.
Тогда (V,P)
называют ориентированным
графом,
V — множество вершин, Р — ориентированные
ребра. Ребро
называют петлей.
Полным
ориентированным графом с петлями на
множестве V называют граф со всеми
ориентированными ребрами. Тогда
число ребер
в полном ориентированном графе равно
.
Упорядоченные наборы элементов из n-данных
без
повторения (
).
Пример.
,
= 2. Тогда упорядоченные наборы без
повторения:
.
Теорема.
Число
упорядоченных
наборов
элементов
из n
данных есть
где
есть произведение.
.
Обозначают это число
.
Доказательство.
Пусть
есть искомое число упорядоченных наборов
элементов
из n
данных без повторения. Тогда разобьем
все эти наборы на n
групп, в i-тую
группу войдут наборы, начинающиеся
на
.
Тогда число элементов в i-ой
группе равно числу упорядоченных наборов
- ого элемента из (
—
1)-ого данного, так как элементы в наборе
не повторяются, т.е. числу
.
Поэтому
т.к.
В нашем примере группы выглядят так:
Упорядоченный набор n элементов из n данных без повторения называют перестановкой: 1,2,3. Перестановки
{123} {132} {213} {231} {312} {321} .
Число
перестановок из n-
элементов есть
(0! считаем равным 1).
Пример 1. Пусть (V, Р) — ориентированный граф. Полным
ориентированным графом называют граф, в котором присутствуют все
ориентированные ребра, кроме петель.
Тогда ориентированные ребра такого графа есть упорядоченные
пары
из множества
без повторений, и их число по доказанной
теореме есть
Пример 2. Имеется n мест и человек. Скольким числом способов можно рассадить этих человек на местах.
Решение.
1.
.
Занумеруем места числами 1,2, ... ,
.
Тогда каждому упорядоченному набору
элементов
из
соответствует
способ посадки. Поэтому искомое число
есть
.
2.
Занумеруем
людей 1,2,.. ,.
.
Тогда каждому упорядоченному выбору
элементов из
данных соответствует способ посадки и
наоборот. Поэтому искомое число есть