![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе……………………………………………………………………………..…….………88
- •Введение
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •1.6 Критерий полноты в класее двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •I этап :
- •II этап :
- •II этап :
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместо в подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •Упорядоченные наборы а элементов n данных с возможными повторениями.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов из данных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов из п данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
Доказательство:
- эта система полна в Т0 . Покажем, что любая собственная подсистема полной в Т0 не является. Рассмотрим
. Т.к.
,тогда
, но функция
не является полной в классе Т0 .
Рассмотрим
в силу того, что
не является полной в классе Т0
. Таким образом все собственные подсистемы
не полны в классе Т0,
поэтому
-
базис в Т0
.
2)
- эта система полна в Т1
.
Покажем, что все собственные подсистемы
не полны в Т1.
Покажем, что
не полна в Т1
, а именно
.
Для этого рассмотрим класс К
следующих
функций:
,
если и только если для любых 2-х наборов
значений переменных, на которых
значение функции равно 0 существует
переменная равная 0 в обоих наборах,
причем наборы не обязательно различные:
Например
0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0
1
1 1
в обоих наборах.
Из определения следует, что на единичном наборе функция из К равна единице.
0 0 0
0 1 1
1
0 1 0 0
в обоих наборах
1 1 1 0 0
0 0 0
0
1 0 0 1
1 0 0 1 0
1 1 1
Утверждение:
Класс К замкнут относительно суперпозиции функций.
Доказательство:
Пусть
Образуем
их суперпозицию:
Пусть
верно противное - суперпозиция
,
тогда существует пара наборов значений
переменных
:
для
любого
и
для любого
Обозначим
.
Тогда
на обоих наборах
значение
равно 0. В силу того, что
, и т.к. в наборах
нет переменной, равной нулю, такой
переменной должна быть последняя
переменная
, т. е.
.
Но для наборов
нет переменной, равной нулю в обоих
наборах, следовательно получаем
противоречие с тем, что
.
Утверждение доказано.
В
силу того, что
.
Но
.
Рассмотрим
в силу того, что
,
имеем,
.
Таким образом все собственные подсистемы
системы
полными в Т1
не являются, и тогда
является базисом в Т1
.
есть базис в S. Эта система полна в классе S. Покажем, что все собственные подсистемы данной системы в классе S полными не являются
- эта функции у которых ровно одна существенная переменная, а функция
имеет три существенные переменные. Поэтому
.
Рассмотрим функцию
,
поэтому система
-
базис в S
.
4) Покажем, что - базис в М. Во-первых эта система полна в классе М . Покажем, что все собственные подсистемы не полные.
а
функции дизъюнкции в замыкании нет
поэтому система
не полна в классе М.
,
а функции
в замыкании нет, следовательно система
не полна в классе М
следовательно начальная система
есть базис в классе монотонных функций.
5)
Система полна в классе L
. Покажем, что все собственные подсистемы
в классе линейных полными не являются:
следовательно начальная система является базисом в классе линейных функций.
Замечание
Вопросы о представлении функций в монотонном базисе потребуются в следующем разделе минимизации двоичных фукций.
Замечание
Пост нашел все замкнутые классы в классе двоичных функций и описал структуру их взаимных вложений.