- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе……………………………………………………………………………..…….………88
- •Введение
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •1.6 Критерий полноты в класее двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •I этап :
- •II этап :
- •II этап :
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместо в подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •Упорядоченные наборы а элементов n данных с возможными повторениями.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов из данных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов из п данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
Теорема: Число различных (неодинаковых) булевых функций от n переменных есть .
Теорема будет следовать из следующего утверждения:
число различных двоичных наборов длины n есть 2n (под длиной набора подразумевается число цифр в нем).
Докажем утверждение индукцией по длине n набора.
Для n=1 имеем 0;1 два различных набора длины 1;
21 =2. Для n=1 утверждение индукции справедливо.
Пусть утверждение индукции справедливо для n1, то есть число различных двоичных наборов длины n1 есть 2n.
Покажем справедливость утверждения для n=n+1. Разобьем все двоичные наборы длины n+1 на две группы. В первую группу отнесем двоичные наборы, которые начинаются на 0. Во вторую группу отнесем двоичные наборы, которые начинаются на 1, например, для n+1 = 3 будет такое разбиение:
-
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Двоичные наборы первой (второй) группы получаются из всевозможных двоичных наборов длины n добавлением слева нуля (единицы) к всевозможным наборам длины n.
Но по предположению индукции наборов длины n имеется 2n, поэтому число наборов как в первой, так и во второй группе будет 2n, поэтому общее число наборов длины (n+1) будет 2n+2n = 2n 2 = 2n+1
Утверждение доказано.
-
x1
…
xn
f(x1…xn)
0
…
0
*
2n
……
…
…
1
…
1
*
Функций от n переменных будет ровно столько, сколько существует разных двоичных наборов длины 2n.
По предыдущему утверждению это число есть . Теорема доказана.
Определение :
Элементарной конъюнкцией на множестве переменных {x1…xn} называют функцию логического произведения множителей , где каждый множитель либо переменная, либо отрицание переменной.
В дальнейшем значение в элементарной конъюнкции будем опускать или заменять .
Например: { x1 x2 x3 x4 }
x 1 x2 x4 ; эта функция равна 1, только на одном наборе:
1 0 1 x1 x2 x4=1
x1 x2 x4
Рангом конъюнкции называют число переменных конъюнкции. Далее будем считать, что все переменные в множителях элементарных конъюнкций различны. В противном случае, используя правила : , приведем конъюнкции к нужном виду;
Например:
полученная конъюнкция будет тождественно равна первоначальной.
В силу коммутативности и ассоциативности бинарной конъюнкции, две приведенные конъюнкции равны, т . и т. т., когда они состоят из одного набора множителей.
Определение
Элементарной дизъюнкцией на множестве переменных {x1…xn} называют функцию логического сложения слагаемых , где каждое слагаемое либо переменная, либо отрицание переменной.
Например: { x1 x2 x3 x4
x1 x2 x4 ; эта функция равна 0, т. и т.т., когда все слагаемые равны 0. т.е. на наборах 0110 и 0100
Рангом дизъюнкции называют число слагаемых дизъюнкции. Далее будем считать, что все переменные в множителях элементарных дизъюнкций различны . В противном случае , используя правила :
приведем дизъюнкции к нужном виду; полученная дизъюнкция будет тождественно равна первоначальной.
В силу коммутативности и ассоциативности элементарные дизъюнкции равны, т . и т. т., когда они состоят из одного и того же набора слагаемых.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) на множестве переменных (x1…xn) называют функцию логического сложения некоторых слагаемых, где каждое слагаемое есть элементарная конъюнкция на (x1…xn) :
{ x1 x2 x3 x4 }
ДНФ называется совершенной (СДНФ), если каждая элементарная конъюнкция имеет ранг n :
Далее считаем, что слагаемые ДНФ не повторяются (в противном случае можно
Множество единиц ДНФ есть объединение множества единиц элементарных конъюнкций ДНФ. Каждая элементарная конъюнкция полного ранга имеет единственную единицу. Слагаемые СДНФ (элементарные конъюнкции полного ранга) и единицы СДНФ находятся во взаимнооднозначном соответствии.