![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе……………………………………………………………………………..…….………88
- •Введение
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •1.6 Критерий полноты в класее двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •I этап :
- •II этап :
- •II этап :
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместо в подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •Упорядоченные наборы а элементов n данных с возможными повторениями.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов из данных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов из п данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
4.5 Укладки графов. Планарные графы.
Определение. Граф называется планарным, если его можно уложить на плоскости без пересечения ребер.
Пример.
Полный граф (граф, содержащий всевозможные
ребра) на
и
вершинах является планарным (
):
Примеры непланарных графов:
полный
граф на
вершинах (
)
является непланарным;
двудольный
граф с
вершинами в каждой доле (
)
является непланарным.
Определение.
Двудольным
графом
называется граф, вершины которого можно
разбить на два непересекающегося
множества
и
,
любое ребро которого соединяет пару
вершин из различных множеств
и
.
Определение. Полным двудольным графом называется двудольный граф, содержащий всевозможные ребра, концы которых расположены в разных долях и графа.
Покажем непланарность графов и .
Предположим
противное: граф
планарен. Рассмотрим укладку этого
графа на плоскости без пересечений
ребер. Рассмотрим цикл из
ребер, который соединяет рассмотренные
вершины. Этот цикл разобьет плоскость
на две связные области
и
(любую пару вершин из одной и той же
области можно соединить непрерывной
линией, которая не пересекает ребра
цикла, а пару вершин из различных областей
связности соединить непрерывной линией
без пересечений ребер нельзя). Рассмотрим
ребро укладки, которое соединяет пару
вершин
и
.
Это
ребро будет расположено либо в области
,
либо в области
.
Эти возможности подобны. Предположим,
это ребро расположено в области
.
Тогда пара вершин
,
должна быть соединена ребром, расположенном
в области
.
Другая пара вершин –
,
должна быть соединена ребром, расположенном
в области
.
Пара вершин
,
должна соединяться ребром из области
.
Тогда пару вершин
,
нельзя соединить ребром, не пересекающим
другие ребра укладки.
Покажем непланарность графа .
Такой
граф содержит цикл, состоящий из
ребер. Доказательство будем строить от
противного. Предположим, что существует
планарная укладка графа
на плоскости. Тогда цикл из
ребер разбивает плоскость на две области
связности:
и
.
Вершины
и
должны соединяться ребром, которое
проходит либо в
,
либо в
.
Эти возможности рассматриваются подобным
образом. Пусть ребро
проходит в
,
тогда вершины
,
должны
соединяться ребром в
.
Тогда вершины
и
соединить без пересечения других ребер
нельзя.
Таким образом, показано, что графы и непланарны.
Что и требовалось доказать.
Определение. Рассмотрим укладку планарного графа на плоскости. Тогда ребра графа разрезают плоскость на связные области, которые будем называть гранями укладки.
Теорема Эйлера
Рассмотрим
связный планарный граф
с числом вершин
и числом ребер
.
Число граней в любой планарной укладке
данного графа равна k.
Данные три параметра связаны соотношением:
Доказательство:
Доказательство будем проводить по индукции по числу граней в укладке планарного графа.
1-ый шаг индукции. Рассмотрим граф с единственной гранью. Связный граф с единственной гранью – дерево (так как грань одна, то циклов в графе быть не может, поскольку каждый цикл разрезает плоскость на 2 области). Известно, что в дереве на вершинах ребро. Подставив данные значения в формулу, получаем тождество:
k-ый
шаг индукции. Допустим, что утверждение
доказано для планарного связного графа
с числом граней k-1>1.
Рассмотрим планарный граф, с числом
граней k.
Так как k
,
то в таком графе есть цикл. Рассмотрим
грань H,
в которой граница - некоторый цикл
.
Пусть – некоторое ребро этого цикла. Удалим это ребро. Получим связный граф с тем же самым числом вершин , с числом ребер на меньше ( ) и с числом граней k-1. Тогда, применяя предположение индукции:
Что и требовалось доказать.
Определение. Операция подразбиения ребра называется преобразование этого ребра, при котором между вершинами и вставляется новая вершина .
Определение. Операция стягивания обратна операции подразбиения:
(вершина h в графе смежна только вершинам v и w)