Глава 2. Гармонические и ангармонические колебания

П.2.1 Механические гармонические колебания – математический и физический маятники, пружинный маятник

3.31 Найдите период математического маятника длины l, подвешенного в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a.

Ответ: Т=2 .

3.32 За одинаковое время один математический маятник делает N₁=50 колебаний, а второй N₂=25 колебаний. Найти их длины l₁ и l₂ , если один из них короче второго на l=33см.

Ответ: l₁=0,11м; l₂=0,44м.

3.33 Секундный маятник колеблется в движущемся с ускорением лифте, делая N=10 колебаний за t=15с. Куда движется лифт и чему равно его ускорение a?

Ответ: a=5,4м/с².

3.34 Чему равен период колебаний математического маятника, находящегося в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a?

Ответ: Т=2 .

3.35 Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600г, то период колебаний груза возрастёт в 2 раза. Определите массу первоначального подвешенного груза.

Ответ: m = 200г.

3.36 На горизонтальной пружине жёсткостью к=900н/м укреплён шар массой М=4кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой m = 10г, летящая с горизонтальной скоростью V₀ = 600м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нём. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определите: 1)амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара.

Ответ: А=10см; Т=0,419с.

3.37 Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

Ответ: x=10,1см.

3.38 Однородный диск радиусом R=20см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l=15см от центра диска. Определите период Т колебаний диска относительно этой оси.

Ответ: Т=1,07с.

3.39 Тонкий однородный стержень длиной l = 60см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии х = 15см от его середины. Определите период колебаний стержня, если он совершает малые колебания.

Ответ: Т=1,19с.

3.40 Упругая пружина под действием подвешенного к ней груза растянулась на x₀. Если груз ещё немного оттянуть вниз и отпустить, то он станет совершать вертикальные колебания. Определить период Т этих колебаний.

Ответ: Т=2 .

3.41 Однородный диск радиусом R колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих поверхности диска. Каков период его колебаний?

Ответ: Т=2π .

П.2.2 Электрические гармонические колебания в колебательном контуре

3.42 Колебательный контур состоит из конденсатора С = 48 мкФ, катушки L=24 мГн и активным сопротивлением R=20 Ом. Определить частоту свободных электромагнитных колебаний в этом контуре. Насколько изменится частота электромагнитных колебаний в контуре, если пренебречь активным сопротивлением катушки?

Ответ: ν₁= 132 Гц; ∆ν=16 Гц.

П.2.3 Свободные затухающие колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность

3.43 Амплитуда затухающих колебаний маятника за t = 2мин уменьшилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания .

Ответ: =5,78·10^-3с.

3.44 Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника 1 м.

Ответ: λ=0,023.

3.45 За время, в течение которого система совершает N=50 полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определите добротность  системы.

Ответ: =227.

3.46 Частота свободных колебаний некоторой системы =65рад/с, а её добротность =2. Определите свободную частоту ₀ колебаний этой системы.

Ответ: ₀=67рад/с.

П.2.4 Вынужденные колебания механического осциллятора под действием синусоидальной силы. Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях.

3.47 На вертикально висящую пружину подвешен груз массой m, при этом удлинение пружины оказалось равным l. Затем груз оттянули ещё немного вниз и отпустили. Какова собственная частота колебаний.

Ответ: ω₀= .

3.48 Чему равна амплитуда вынужденных колебаний при резонансе А_рез, если при очень малой (по сравнению с соответственной) частотой вынужденных колебаний она равна А₀=0,1см, а логарифмический декремент затухания =0,01?

Ответ: А_рез=3,1см.

3.49 На пружине с жёсткостью 10³ н/м висит железный шарик массой 0,8кг. Со стороны переменного магнитного поля на шарик действует синусоидальная сила, амплитудное значение которой равно 2Н. Добротность системы равна 30. Определить амплитуду вынужденных колебаний в случае, если =₀/2 и =_0.

Ответ: А₁=2,7мм; 60мм.

3.50 Гиря массой m = 0,5кг, подвешенная на спиральной пружине жёсткостью к = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,1cost Н. Определить для данной колебательной системы: 1)коэффициент затухания; 2)резонансную амплитуду А_рез.

Ответ: =0,5с^-1; А_рез=2см.

3.51 Гиря массой m=400г, подвешенная на спиральной пружине жёсткостью к=40Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротивления r для этой системы составляет 0,5 кг/с. На верхний коней пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = cos t Н. Определите: 1)амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше собственной частоты колебаний; 2)частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 3)резонансную амплитуду.

Ответ: А=3,3см; _рез=9,96с^-1; А_рез=20см.

3.52 На пружине с жёсткостью 10³ Н/м висит железный шарик массой 0,8 кг. Со стороны переменного магнитного поля на шарик действует синусоидальная сила, амплитудное значение которой равно 3Н. Добротность системы 35. Определить амплитуду вынужденных колебаний в случаях если: 1)=₀; 2)=2₀.

Ответ: 105мм; 1мм.

П.2.5 Электрические вынужденные колебания. Цепи переменного тока. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления.

3.53 Обмотка катушки состоит из N=500 витков медной проволоки с площадью поперечного сечения S₁=1мм². Длина катушки l₂=0,5м, а её диаметр d₂=5см. При какой частоте тока полное сопротивление катушки вдвое больше её активного сопротивления?

Ответ: V=300Гц.

3.54 Определить ёмкость конденсатора колебательного контура, если известно, что при индуктивности 100мкГн контур настроен в резонансе на электромагнитную волну с длиной =300м.

Ответ: С=250пкФ.

3.55 Определить частоту собственных колебаний контура, а также круговую частоту, период и длину волны, излучаемой контуром. Контур содержит катушку L=10мГн, конденсатор с ёмкостью С₁=880пкФ и подстроенный конденсатор с С₂=20пФ.

Ответ: V=300кГц; =3,33·10^-5с; T=18,8мкс; =5650м.

3.56 В цепи протекает синусоидальный ток. Зная, что эффективное напряжение U_ab=30В, эффективное напряжение U_bo = 10В и эффективное напряжение U_od = 15В, найти эффективное напряжение на участке AD.

Ответ: U_ad=25В.

3.57 В колебательный контур, содержащий последовательно соединённые конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключено внешнее переменное напряжение, частоту которого можно менять, не меняя его амплитуды. При частотах внешнего напряжения ₁=400рад/с и ₂=600рад/с амплитуды силы тока в цепи оказались одинаковыми. Определить резонансную частоту тока.

Ответ: _рез=490рад/с.

3.58 Генератор, частота которого составляет 32кГц и амплитудное значение напряжения 120В, включён в резонирующую цепь, ёмкость которой С = 1нФ. Определите амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи R=5 Ом.

Ответ: U_Cm= 119кВ.

3.59 В цепи переменного тока с частотой v=50Гц сила тока внешней цепи равна нулю. Определите ёмкость С конденсатора, если индуктивность L катушки равна 1 Гн.

Ответ: С=10мкФ.

3.60 Как и какими индуктивностью L и ёмкостью С надо подключить катушку и конденсатор к резистору сопротивлением R=10кОм, чтобы ток через катушку и конденсатор был в 10 раз больше общего тока? Частота переменного напряжения v=50Гц.

Ответ: L = 3,18 Гн; C = 3,18 мкФ.

3.61 В сеть переменного тока с действующим значением напряжения 120В последовательно включены проводник с активным сопротивлением 10 Ом и катушка индуктивностью 0,1 Гн. Определите частоту ν тока, если амплитудное значение силы тока в цепи равно 5А.

Ответ: ν = 51,6Гц.