- •4 Задачи письменного экзамена
- •Раздел 3. Физика колебаний и волн
- •Глава 1. Кинематика и динамика гармонических колебаний
- •Глава 2. Гармонические и ангармонические колебания
- •Глава 3. Волновые процессы
- •Глава 4. Электромагнитные волны и их свойства
- •Глава 5. Интерференция световых волн
- •Глава 6. Дифракция световых волн
- •Глава 7. Электромагнитные волны в веществе
- •Раздел 4. Квантовая физика
- •Глава 1. Фотоны
- •Глава 2. Корпускулярно - волновой дуализм. Квантовое состояние. Уравнение Шредингера
- •Глава 3. Атом
- •Глава 4. Молекула
- •Глава 5. Атомное ядро
4 Задачи письменного экзамена
Раздел 3. Физика колебаний и волн
Глава 1. Кинематика и динамика гармонических колебаний
П.1.1 Амплитуда, период, частота, круговая частота, фаза гармонических колебаний
3.1 Гармонические колебания величины x описываются уравнением x=0,02cos(6πt+π/3), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.
Ответ: 1) А=0,02 м; 2) ω0=6π 1/с; 3) ν=3Гц; 4) Т=0,33 с.
3.2 Запишите уравнение гармонического колебательного движения точки, совершающей колебания с амплитудой А = 8 см, если за t = 1 мин совершается n = 120 колебании и начальная фаза колебаний равна 45°.
Ответ:x=8cos(4πt+π/4), см.
3.3 Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения х0 = 2 см.
Ответ: x=0,04cos(πt+π/3), м.
3.4 Точка совершает гармонические колебания с периодом Т = 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.
Ответ: t = 1c.
3.5 Материальная точка совершает колебания согласно уравнению x=Asinωt. В какой-то момент времени смещение точки х1 = 15 см. При возрастании фазы колебания в два раза смещение х2 оказалось равным 24 см. Определите амплитуду А колебания.
Ответ: А = 25 см.
П.1.2 Скорость и ускорение гармонических колебаний. Основное уравнение динамики гармонических колебаний.
3.6 Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда А = 15 см, максимальная скорость колеблющейся точки vmax = 30 см/с, начальная фаза φ0 = 10°.
Ответ: x=0,15cos(2t+π/18), м.
3.7 Точка совершает гармонические колебания по закону x=3cos(πt/2+π/8), см. Определите: 1) период Т колебаний; 2) максимальную скорость vmax точки; 3)максимальное ускорение аmах точки.
Ответ: 1) Т = 4 с; 2) vmax = 4,71 м/с; 3) аmах = 7,4 м/с2.
3.8 Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А =10 см и периодом T = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную скорость; 2) максимальное ускорение.
Ответ: vmax = 12,6 см/с; аmах = 15,8 см/с2.
3.9 Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением v(t)= - 6sin(2πt). Запишите зависимость смещения этой точки от времени.
Ответ: x= 3/π cos(2πt).
3.10 Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению, x=0,02cos(πt + π/2), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько времени после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия
Ответ: 1) A=2 см; 2) Т=2 с; 3)φо=π/2; 4) vmax =6,28 с; 5) amax=19,7 см/с2;
6)t=0,1,2,3,c.
3.11 Определите максимальные значения скорости и ускорения точки совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 3 см и периодом Т = 4 с.
Ответ: vmax = 4,71 см/с; 2) amax = 7,4 см/с2.
3.12 Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х0 = 5 см, со скоростью v0 =15 см/с. Определите амплитуду колебаний.
Ответ: А = 5,54 см.
П.1.3 Возвращающая сила. Энергия
3.13 Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону x=0,1cos(4πt+π/4), м. Определите максимальные значения: 1) возвра-щающей силы; 2) кинетической энергии.
Ответ: 1)|Fmax| = 0,158 Н; 2) Tmax = 7,89 мДж.
3.14 Материальная точка массой т = 50 г совершает гармонические колеба-ния согласно уравнению, x=0,1cos(3πt/2), м. Определите: 1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.
Ответ: 1) F = 78,5 мН; 2) Е = 5,55 мДж.
3.15 Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону x=0,1cos(4πt+π/4), м. Определите полную энергию Е этой точки.
Ответ: Е = 15,8 мДж.
3.16 Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила Fmax, действующая на точку, равна 0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период Т колебаний равен 4 с, а начальная фаза φ =π/6.
Ответ: x=0,04cos(π/2+π/6), м.
3.17 Определите отношение кинетической энергии Т точки совершающей гармонические колебания к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебания.
Ответ: Т/П = tg2(ω0t+φ).
3.18 Определите полную энергию материальной точки массой m, колеблющейся по закону х=Аcos(ω0t+φ).
Ответ: Е=mА2ω02/2.
П.1.4 Сложение колебаний одного направления. Векторные диаграммы. Биения
3.19 Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами А1 = 4 см и А2, = 8 см имеют разность фаз φ=45°. Определите амплитуду результирующего колебания.
Ответ: А = 11,2 см.
3.20 Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60°, равна А = 6 см. Определить амплитуду А2 второго колебания, если А1= 5 см.
Ответ: А 2= 1,65 см.
3.21 Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = 5 см составляет π/4. Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.
Ответ: x=9,24cos(πt/2+π/8), см.
3.22 Определите разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты и амплитуды, если амплитуда их результирующего колебания равна амплитудам складываемых колебаний.
Ответ: φ = 120°.
3.23 Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями x1=3cos(2πt), см, x2=3cos(2πt+π/4), см. Определите для результирующего колебания 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.
Ответ: 1) А = 5,54 см; 2) φ = π/8.
3.24 Точка одновременно участвует в n одинаково направленных гармоничес-ких колебаниях одинаковой частоты: А1cos(ωt+φ1), А2cos(ωt+φ2),… Аncos(ωt+φn). Используя метод вращающегося вектора амплитуды, определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу
Ответ:
3.25 Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов настроены на 560 и 560,5 Гц. Определите период биений.
Ответ: Тб = 2 с.
3.26 В результате сложения двух колебаний, период одного из которого Т1 = 0,02 с, получают биения с периодом Тб = 0,2 с. Определить период Т2 второго складываемого колебания.
Ответ: Т2 = 18,2 мс.
3.27 Складываются два гармонических колебания одного направления, имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы с периодами Т1 = 2 и Т2 = 2,05 с. Определите: 1) период результирующего колебания; 2) период биения.
Ответ: 1)Т = 2,02с; 2)Тб = 82с.
3.28 Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления, описывается уравнением вида х =Acos(t)cos(45t) (t – в секундах). Определите: 1) циклические частоты складываемых колебаний; 2) период биений результирующего колебания
Ответ: 1) ω1 = 46 с-1, 2) ω2 = 44 с-1; 2) Т6 = 3,14 с.
П.1.5 Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
3.29 Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x= 3 cosωt, см и у= 4 cosωt, см. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
Ответ: у=4х/3.
3.30 Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = 3 cos(2ωt), см и у = 4 cos(2ωt + π), см. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
Ответ: у=-4х/3.