25. Функция одного случайного аргумента.

Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х:

1. Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина.

   1. Если различным возможным значениям аргумента Х соответствуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y равны.

2. Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

3. Математическое ожидание:

2. Пусть аргумент Х – непрерывная случайная величина. Если дифференцируема строго возрастающая или просто убывающая функция, обратная функция которой , то дифференциальная функция случайной величины Y находится по равенству:

Математическое ожидание:

26. Функция двух случайных аргументов.

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и Y.

1. Пусть Х и Y – дискретные независимые случайные величины. Для того, чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.

2. Пусть Х и Y – непрерывные случайные величины. Если Х и Y независимы, то дифференциальная функция g(x) суммы Z=X+Y (при условии, что дифференциальная функция хотя бы одного из аргументов задана на интервале (-∞; +∞)) может быть найдена по равенству:

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то:

27. Закон распределения двумерной случайной величины.

Если на пространстве событий заданы две случайные функции и , то говорят, что задана двумерная случайная величина (Х, Y).

Интегральной функцией распределения двумерной случайной величины (Х, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств:

:

Геометрически означает вероятность попадания в бесконечный квадрат с вершиной (х, y).

Свойства функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

Для двумерной случайной величины (Х, Y) интегральная функция распределения равна:

1. 

2. 

3. 

28. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, …, х_k – n_k раз и – объём выборки. Наблюдаемые значения x_i называются вариантами, а возрастающая последовательность вариант – вариационным рядом.

Число наблюдений называется частотой, а её отношение к объёму выборки – относительной частотой.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X<x.

n_x – число вариант, меньших х

n – объём выборки.

Свойства Эмпирической функции распределения:

1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1].

2. - неубывающая функция.

3. Если х₁ – наименьшая варианта, то при

Если x_k – наибольшая варианта, то при

Эмпирическая функция служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а оси ординат – соответствующие им частот .

Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Полигон относительных частот строят аналогично.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

Площадь гистограммы частот равна объёму выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты).

Площадь гистограммы относительных частот равна 1.