9. Повторение испытаний. Частная теорема о повторении опытов.

Независимые опыты могут производиться в одинаковых или разных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах будет одинакова. В этом случае применяется частная теорема о повторении опытов. Во втором случае вероятность повторения события А будет разной. Применяется общая теорема повторения опытов.

1. Частная теорема повторения опытов.

Пусть проводится три независимых выстрела по мишени с вероятность P. Вычислить вероятность того, что будет два попадания. q=1-p

1	2	3

n – все исходы

m – благоприятные исходы

p – вероятность благоприятного исхода

Это формула Бернулли.

Пример: Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 2 раза.

1	2	3	4	5

n=5

m=2

p=0,5 – вероятность выпадения гербы

q=0,5

10. Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.

Общая теорема о повторении опытов применяется тогда, когда опыты производятся в неодинаковых условиях и вероятность события от опыта к опыту меняется.

Путь производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А с вероятностью в каждом i-ом опыте P_i. Требуется найти вероятность P_m,n того, что в результате n опытов, событие А появится m раз.

Пусть B_m – вероятность того, что событие А появится m раз в n опытах. Представим B_m как сумму произведений элементарных событий (в каждое произведение событие А входит m раз, а событие n-m раз):

Применяя теорему сложения и теорему умножения для независимых событий, получим:

Составим произведение n биномов:

Коэффициент при Z будет представлен виде произведения n букв p и n-m букв q.

Функция , разложение которой по степеням параметра z даёт в качестве коэффициентов вероятности P_m,n , называется производящей функцией.