Теорема.

Вероятность того, что событие А n независимых опытов появится ровно m раз, равна коэффициенту при Z производящей функции.

Пример: Вероятность попадания при 1 выстреле = 0,7, при 2 – 0,8, при 3 – 0,9. Найти закон распределения числа попаданий.

Вероятность одного попадания равна 0,092

Вероятность двух попаданий равна 0,398

Вероятность трёх попаданий равна 0,504

Вероятность отсутствия попаданий равна 0,006

11. Функция распределения случайной величины.

Для непрерывных случайных величин удобно воспользоваться не вычислением вероятности о том, что отдельная величина примет конкретное значение, а вероятностью события X<x, где х – некая текущая переменная. Вероятность этого события есть функция от х, которая называется функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента:

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение равна 0.

5. Функция распределения непрерывна слева.

6. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1].

7. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a,b), то

8. Вероятность того, что случайная величина X примет значение из (a,b) равна приращению функции распределения:

Зная закон распределения дискретной случайной величины можно построить её функцию по правилу:

Пример:

Х	3	4	7	10
p	0,2	0,3	0,7	1

12. Плотность распределения.

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения F(x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до .

Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка и будем приближать к нулю.

– плотность распределения – производная функции распределения.

В ыразим вероятность попадания величины Х на отрезок от через плотность распределения. Она равна сумме элементов вероятности на всём участке, то есть интегралу:

Выразим функцию распределения через плотность.

Свойства платности:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения (то есть площадь под кривой плотности распределения) равен единице:

13. Числовые характеристики случайных величин.

Ч исла, назначение которых выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности закона распределения, называются числовыми характеристиками случайных величин.

Математической ожидание (среднее значение) случайной величины – сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую возможные значения х₁, х₂, …, х_n с вероятностями p₁, p₂,…,p_n. Требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учётом, что эти значения имеют различные вероятности.

Для непрерывной величины Х математической ожидание выражается интегралом:

Модой случайной величины называется её наиболее вероятностное значение. В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают.

Медианой называется такое значение случайной величины, для которого:

Медиана определена только для непрерывных случайных величин.

Начальным моментом s-ого порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины начальный момент примет вид:

Общая формула начального момента s-ого порядка имеет вид:

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания. .

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0:

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-о1й степени соответствующей центрированной случайной величины:

Для прерывной случайной величины s-ый центральный момент равен:

Для непрерывной:

Центральный момент первого прядка =0.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата центрированной величины.

Дисперсия случайной величины Х есть характеристика рассеивания, то есть разбрасывания значений случайной величины вокруг мат. ожидания.

Среднее квадратическое отклонение есть корень из дисперсии:

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все моменты нечётного порядка равны нулю.