4. Геометрическая вероятность. Задача о встрече.

Геометрическая вероятность.

Свойство равновозможности исходов эксперимента часто встречается в практических задачах. Однако недостаток классического определения состоит в конечности множества исходов.

Предположим, что эксперимент можно представить как бросание точки наудачу в область n – мерного пространства. Пространством элементарных исходов Ω является область D. Слово «наудачу» будем понимать следующим образом: вероятность случайной точке попасть в g, g⊆D, не зависит от формы и расположения g, а зависит только от размера g (от mes g): P(попасть в g)=f(mes g).

Используя аксиомы вероятности, можно показать, что в этом случае вероятность попадания в g равна отношению размеров:

Пример: Дана окружность радиуса r, в которую вписан квадрат. Найти вероятность попадания точки в квадрат.

Решение:

А – попадание точки в квадрат

, где а – сторона квадрата.

Задача о встрече.

Два человека договорились встретиться в определенном месте в интервале с 12 до 13 часов, причём момент прихода каждый выбирает случайно, ждёт 20 минут (1/3 часа) и уходит. Какова вероятность события А – встреча произойдёт?

Решение:

Эксперимент мы представляем как бросание двух точек на отрезке [0, 1]. Пусть x – момент прихода первого, y – момент прихода второго. Множество всех исходов Ω = {(x, y): x, y ⊆ [0, 1]}, то есть квадрат на плоскости. Множество А исходов, благоприятствующих наступлению А, состоит из тех исходов (x,y), для которых |x-y|≤1/3: А={(x, y): |x-y|≤1/3}.

Соответствующая область показана на рисунке. В силу (1):

5. Теоремы сложения вероятностей.

Суммой двух событий A и B называется новое событие C, состоящее в выполнении события А, или события В, или обоих вместе.

Если два события А и В несовместны, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность попадания двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство:

Пусть есть n случаев, из которых m принадлежат событию А, k – событию В. Тогда

Произошли события А+В, тогда:

………………………………………………

Полной группой называют совокупность единственно возможных событий испытания.

Следствие №1: если события А₁, А₂,…,А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. ( Попадание и промах при выстреле)

Следствие №2: сумма вероятностей двух противоположных событий = 1.

Следствие №3: вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема сложения для совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления.

6. Теоремы умножения вероятностей.

Произведением двух событий А и В называется новое событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В называется условной вероятностью события А и обозначается .