Центральная предельная теорема.
Если
- независимые случайные величины, имеющие
один и тот же закон распределения с
математическим ожиданием m
и дисперсией
,
то при неограниченном увеличении n
закон распределения суммы этих случайных
величин приближается к нормальному.
Доказательство: Так как случайные величины имеют один и тот же закон распределения с плотностью f(x), то они имеют одну характеристическую функцию:
Представим
функцию
в окрестности точки t=0
при
.
Дисперсия D=1 и не зависит от n.
Следствие из теоремы Ляпунова – теоремы Лапласа.
Следствие из теоремы Ляпунова: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше n) значению функции
При
.
Значения функции
можно посмотреть в специальной таблице.
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближённо равна определённому интегралу.
где
и
.
Значение
интеграла
нужно смотреть в таблице.
Свойства числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия).
Свойства математических ожиданий.
Математической ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной.
Доказательство: Постоянную величину С можно рассматривать как случайную, которая принимает лишь одно значение С с вероятностью 1, поэтому M[C]=C*1=C
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то есть M[kX]=kM[X].
Доказательство: kX – это случайная величина, которая принимает значение kXi и P(kX=kxi)=pi i=1, 2,…,n. Математическое ожидание kX:
Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
Следствие:
Математическое ожидание разности
случайных величин равно разности их
математических ожиданий:
Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Если все значения случайной величины Х уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то математическое ожидание её уменьшится (увеличится) на то же число С.
Следствие: Математическое ожидание отклонения случайной величины Х от её математического ожидания равно нулю.
Свойства дисперсии.
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Доказательство:
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, то есть
Доказательство:
Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата математического ожидания:
Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
Дисперсия разности случайных величин равна сумме их дисперсий:
