23. Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства

Св-ва:

1)Если исходная задача на max, то двойственная – на min;

2)Коэф-ты при переменных в линейной ф-ции одной задачи явл-ся свободными членами системы ограничений другой задачи;

3)Матрица коэф-тов при переменных в системе ограничений обеих задач явл-ся транспонированными друг к другу;

4)Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой;

5)-если переменные исходной задачи х_j положительны, то система ограничений двойственной задачи в j-неравенстве;

-если х_j в исходном неравенстве 0, то j-неравенство в системе ограничений двойственной задачи имеет знак;

-если х_jпроизвольного знака, то j-строка – управление.

6)Знаки неравенств в системе ограничений исходной задачи влияют на знаки переменных в двойственной задаче;

7)значения целевой ф-ции на оптимальном решении – одно и то же. F( )=G )

24. Квадратичные формы

Переход от системы n неизвестных х₁,х₂,…,х_n к системе n неизвестных у₁,у₂,…,у_n по формуле х=S_y, где х=( х₁,х₂,…,х_n), у=( у₁,у₂,…,у_n), а S – квадратная матрица n порядка, называется линейным преобразованием неизвестных. Линейное преобразование невырожденное, если матрица S – невырожденная (определитель ≠0).

Квадратичная форма F(х) от n неизвестных х₁,х₂,…,х_n – сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

F(х)=х*А*х, где А – симметрич. матрица n-го порядка, кот. назыв-ся матрицей квадратичной формы F(х).

Две квадратные формы эквивалентны, если одна из них переводится в другую посредством линейного невырожденного преобразования.

Замечание. Если в квадратной форме F(х)=х*А*х неизвестные подвергнуть линейному преобразованию х=Sу, то получится квадратичная форма F(у)=у*(S^Т*А*S)*у.

Канонический вид квадратной формы – квадратная форма, эквивалентная исходной, не содержащая произведений неизвестных.

Теорема. Каждую квадратную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейного преобразования неизвестных х=Sу, где S – ортогональная матрица.

Если F(х)>0 (F(х)<0) для всех х≠0, то квадратичная форма – положительно определенная (отрицательно).

Теорема. Квадратная форма положительно (отрицательно) определена, если в каком-нибудь ее канонич. виде нет отрицат. (положит.) коэф-тов при квадратах неизвестных.

Теорема. След. 3 условия эквивалентны:

1. Квадратная форма F(х)=х*А*х положительно определена

2. Собственные значения матрицы А положительны

3. Угловые миноры матрицы А положительны.

Теорема. След. 3 условия равносильны:

1. Квадратная форма F(х)=х*А*х отрицательно определена

2. Собственные значения матрицы А отрицательны

3. Все угловые миноры матрицы А нечетного порядка отрицательны, а все угловые миноры четного порядка положительны.

25. Прямая на плоскости

26. Плоскость в пространстве

Ур-е вида А_х+В_у+С_z+D=0 (1) называется общим ур-ем плоскости в системе координат Оxyz. Вектор =(А, В, С) перпендикулярен плоскости (1); он называется нормальным вектором этой плоскости. Если известно, что плоскость проходит через некоторую точку М₀ (х_0,у₀,z₀), то она может быть задана ур-ем А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0

27. Прямая в пространстве

28. Кривые второго порядка

Кривая второго порядка – это геометрич. место точек, декартовые прямоугольные координаты кот. удовл. ур-ю вида: а₁₁х²+а₂₂у²+2а₁₂ху+2а₁₃х+2а₂₃у+а₃₃=0, в кот. по-крайней мере один из коэффициентов а₁₁, а₁₂ и а₂₂ отличен от 0.

Формула окружности (эллипса):

=

⁼ , ≠0

Формула гиперболы:

⁼

=

Формула параболы: y=2рх

р= >0