15. Фундаментальные системы решений для слу

Рассмотрим систему лин. ур-й в векторной форме:

а₁x₁+а₂x₂+…+а_nx_n=b (*)

а₁x₁+а₂x₂+…+а_nx_n=0 (0) – однородная

Рассмотрим наборы m-мерных векторов а₁, а₂, …, а_n; а₁, а₂, …, а_n1b.

Теорема. 1)Система (*) совместна т. и т. т., когда ранг системы векторов а₁, а₂, …, а_n (1) совпадает с рангом системы векторов а₁, а₂, …, а_n1b (2).

2)Совместная СЛУ имеет единственное решение, если ранг системы векторов а₁, а₂, …, а_n равен числу неизвестных в этой системе, т. е. n.

3)Если ранг системы векторов а₁, а₂, …, а_n меньше числа n, то совместная система ур-й имеет бесконечное множество решений.

Следствие. Однородная система имеет ненулевое решение, если ранг системы (1) меньше числа неизвестных.

Фундаментальная система решений (ФСР) - линейно независимая система решений F₁, F₂,... F_р однородной систе­мы уравнений, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений F₁, F₂,... F_р.

Теорема. Если в (0) ранг r системы векторов а₁, а₂, …, а_n меньше числа неизвестных n, т. е. r<n, то система (0) имеет ФСР.

Построение ФСР:

1)Найти общее решение однородной системы уравнений.

2)Рассмотреть систему из р=n-r р-мерных векторов

е₁=(1,0,…,0)}

e₂=(0,1,…,0)}

e_р=(0,0,…,1)}

3)Подставить в общее решение системы (0) вместо свободных неизвест­ных координаты вектора Е₁ и далее найти значения зависимых переменных.. Полученная совокупность неизвест­ных – F₁.

4)Аналогично с помощью векторов Е₂ найти F₂, Е₃ F₃ и т. д.

Полученная система F₁…F_р – ФСР.

16. Собственные значения и собственные векторы матрицы

λ – собственное значение квадратной матрицы А n порядка, если сущ. ненулевой n-мерный вектор x, такой что Ax= λx

Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения |А – λЕ|=0, кот. называется характеристическим ур-ем матрицы А.

Ненулевой вектор х – собственный вектор квад­ратной матрицы А, принадлежащим ее собственному значению λ, если Ax=λx.

Множество всех собственных векторов матрицы А, принад­лежащих ее собственному значению λ, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений (A - λE)x=0.

Множество решений этого ур-я – А(λ).

17. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Рассмотрим квадратную матрицу А n-ного порядка. Матрица А приводится к диагональному виду т. и т. т., когда сущ. невырожденная квадратная матрица Т такая, что Т^-1*А*Т явл-ся диагональной.

Теорема. Квадратная матрица А n-ного порядка приводится к диаг. виду т. и т. т., когда в пространстве R_n сущ. базис, состоящий из собственных векторов матрицы А. Тогда столбцы матрицы Т – координаты векторов этого базиса.

Правило построения матрицы Т:

1)Найти все собственные значения матрицы А (λ).

2)Для каждого λ найти ФСР однородной системы уравнений (A - λE)Х=0.

3)Построить матрицу Т, столбцы которой являются коор­динатами решений всех найденных фундаментальных систем.

4)Если полученная матрица Т является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица Т не будет квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.