4. Теорема о разложении определителя по строке или столбцу

опр. Минором M_ij эл-та a_ij определителя ∆_n наз-ся определитель (n-1)-го порядка, т. е. ∆_n-1, получаемый из исходного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

опр. Алгебраическим дополнением A_ij для эл-та a_ij определителя ∆ наз-ся число A_ij=(-1)^i+j*M_ij.

Теорема1. Определитель ∆_n равен сумме произведений эл-тов любой строки на их алгебраические дополнения.

∆_n=a_k1A_k1+a_k2A_k2+…+a_knA_kn для всех k= – разложение определителя по k-ой строке.

Теорема2. Определитель n-ного порядка равен сумме произведений эл-тов любого столбца на их алгебраические дополнения, т. е. ∆_n=a_1kA_1k+a_2kA_2k+…+a_nkA_nk – формула разложения определителя по k-ому столбцу.

5. Обратная матрица

опр. Матрица A^-1 наз-ся обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении этой матрицы на матрицу A как справа, так и слева, получается единичная матрица, т. е. A·A^-1=A^-1·A=E

зам.1 Только квадратная матрица имеет обратную, и обратная матрица явл-ся квадратной того же порядка.

зам.2 Не каждая квадратная матрица имеет обратную. Условие: ∆а≠0.

опр. Если определитель матрицы А не равен 0, то матрица А наз-ся невырожденной (неособенной). В противном случае она наз-ся вырожденной (особенной).

Теорема. Обратная матрица A^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица A не вырождена, т. е. ∆а≠0.

Св-ва обратной матрицы:

1. ∆(A^-1)=1/∆(A)

2. (A^-1)^-1=A

3. (AB)^-1=B^-1*A^-1

4. (A^m)^-1 =(A^-1)^m

6. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

К исходной невырожд. матрице A дописывается справа ед. матрица E того же порядка и получается расширенная матрица (A|E). Элементарными преобразованиями строк полученную расширенную матрицу преобразуют к виду (A|E)(E|B). Тогда матрица B=A^-1.

Элементарные преобразования строк:

1)Умножение всех эл-тов строки на число ≠0.

2)Прибавление к каждому эл-ту строки соответствующих эл-тов др. строки, умноженных на некоторое число.

7. Системы линейных уравнений – общие определения

опр. Системой m линейных уравнений с n неизвестными наз-ся система

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n=b₁}

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n=b₂} (*)

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_ijx_j+…+a_inx_n=bi}

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n=b_m},

где a_ij i=1,m; j=1,n – коэффициенты при неизвестных, b_i – свободные числа.

опр. Решение системы (*) – совокупность n чисел (k₁,k₂,…,k_n) при подстановке кот. каждое ур-ние системы обращается в верное равенство.

опр. Решить систему (*) – найти все ее решения или убедиться, что их нет.

опр. Система (*) – совместная, если она имеет хотя бы одно решение.

Система (*) – несовместная, если она не имеет решений.

опр. Совместная система (*) наз-ся определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

А*Х=b – матричнвя форма записи (*).

опр. Две системы линейных ур-ний (СЛУ) наз-ся равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений, т.е. если

1)обе совместны и имеют одни и те же решения;

2)обе несовместны.

опр. Система (*) – однородная, если все b_i=0, в противном случае – неоднородной зам.Однородные системы всегда совместны. Решение (0;0;0…0) – нулевое или тривиальное.