11. Линейная зависимость и независимость векторов

опр. Система ненулевых векторов а₁, а₂, …, а_р наз-ся линейно зависимой, если система ур-й а₁х₁+а₂х₂+…+ а_рx_р=0 (*) имеет ненулевое решение. Если же эта система имеет только нулевое решение, то система векторов а₁, а₂, …, а_р – линейно независимая.

Набор k_i – ненулевой, если хотя бы одно из этих чисел отлично от 0. Существование ненулевого решения у системы (*) равносильно существованию ненулевого набора чисел k_i такого, что а₁k₁+а₂k₂+…+ а_рk_р=0. С другой стороны, отсутствие ненулевых решений у системы (*) равносильно тому, что k₁=k₂=…=k_p=0

Система векторов а₁, а₂, …, а_р – линейно зависима, если сущ. такой ненулевой набор чисел k_i, при которых выполняется а₁k₁+а₂k₂+…+ а_рk_р=0. Если же из каждого соотношения следует, что k_i=0, то система линейно независима.

Теорема.

1)Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.

2)Система векторов е₁ , е₂ , е_n линейно независима.

3)Система векторов, а₁, а₂, …, а_р линейно зависима, если хотя бы 1 из векторов системы разлагается по ост. векторам этой системы.

4)Система n-мерных векторов а₁, а₂, …, а_р Линейно зависима, если p>n.

12. Базис и ранг системы векторов

опр. Базис системы векторов а₁, а₂, …, а_р – такая ее часть b₁,b₂,…,b_t (каждый из b_j является одним из векторов a_i), кот. удовлетворяет след. условиям:

1. Система b₁,b₂,…,b_t – линейно независимая

2. Любой вектор системы а₁, а₂, …, а_р разлагается по векторам b₁,b₂,…,b_t.

Теорема. Если диаг. система явл-ся частью системы а₁, а₂, …, а_р, то она явл-ся базисом этой системы.

Теорема. Каждую линейно независимую часть с₁,с₂,…,с_s системы а₁, а₂, …, а_р можно дополнить до базиса этой системы.

Следствие. Если система а₁, а₂, …, а_р содержит ненулевой вектор, то она имеет базис.

Теорема. Каждый вектор системы а₁, а₂, …, а_р единственным образом разлагается по векторам ее базиса.

Теорема. Если система ур-й а₁x₁+а₂x₂+…+а_рx_р=0 является разрешенной (совместной), то векторы-коэф-ты при неизвестных а_i, образующих набор разрешенных неизвестных совпадает с диаг. системой векторов е_i.

опр. Рангом системы векторов наз-ся число векторов в любом ее базисе.

Если ранг системы векторов а₁, а₂, …, а_р равен r, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из r векторов, является ее базисом.

13. Векторы и матрицы

14. Ортогональные системы векторов

опр. Два вектора наз-ся ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

опр. Система векторов наз-ся ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

Замечание. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Теорема. 1)Система векторов b₁,b₂,…,b_р+1 – ортогональная.

2)Если векторы а_i линейно независимы, то векторы b_i образуют ортогональную систему ненулевых векторов.

опр. Система векторов наз-ся ортонормированной, если она ортогональна и все векторы этой системы имеют длину, равную единице.