18. Ортогональные и симметрические матрицы

Квадратная матрица А – симметрическая, если А^Т=А.

Квадратная невырожденная матрица А – ортогональная, если А^Т=А^-1

Теорема. Следующие 3 условия равносильны:

1)Матрица А – ортогональная;

2)Матрица А^-1 ортогональная;

3)Столбцы матрицы А образуют ортонормированную систему векторов.

Замечание. Орт. матрица может и не иметь собственных действит. значений.

Симметрич. матрица всегда имеет действит. собств. значения, а все ее собств. значения – действит. числа.

Теорема. Собственные векторы симметрич. матрицы, принадлежащие различным собств. значениям, ортогональны.

Теорема. Для  симмметрич. матрицы А сущ. ортогональная матрица Q такая, что Q^-1*A*Q – диагональная матрица.

Построение матрицы Q:

1. Строить невырожденную матрицу Т, кот. приводит А к диаг. виду;

2. Столбцы матрицы Т подвергнуть процессу ортогонализации, а затем полученные векторы пронормировать;

3. Построить матрицу Q, столбцы которой – координаты ортонормированной системы векторов из пункта 2.

19. Общая постановка задачи линейного программирования

1. Экономико-математическая модель (ЭММ)

Задача линейного программирования (ЗЛП) – простейший пример ЭММ. ЭММ – математическое описание исследуемого эк. процесса или объекта, выражающее закономерности эк. процесса в абстрактном виде с помощью математич. соотношений, что позволяет углубить колич. математич. анализ, расширить область эк. информации, интенсифицировать эк. расчет.

3 этапа построения ЭММ:

а) постановка цели, задачи исследования, качественное описание объекта в виде эк. модели;

б) построение математ. модели изучаемого объекта, выбор (разработка) методов исследования, подготовка исходной инфы, реализация модели на ЭВМ;

в) анализ матем. модели, обработка полученных результатов.

Процедура матем. моделирования заменяет дорогостоящие трудоемкие натуральные эксперименты расчетами, при этом быстро и дешево сравниваются различные варианты и управленческие решения, в результате чего отбираются наиболее оптимальные варианты.

2. Задача об использовании ресурсов (планирования производства)

n видов продукции с использованием m видов ресурсов

n: Р₁, Р₂, …, Р_n

m: S₁, S₂, …, S_m

х₁, х₂,…,х_n≥0 (1)

Пусть производится n видов продукции Р_j j= ; m видов ресурсов S_i i= .

Пусть х_j – кол-во продукции Р_j, запланированной к производству. Пусть b_i – запас ресурса S_i.

а_ij – затраты ресурса S_i для выпуска единицы Р_j.

с_j – прибыль, получаемая от реализации единицы продукции Р_j.

(1): условие неотрицательности переменных: х_j≥0 j=

(2): а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_nb₁}

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2nx_nb₂}

а_m1х₁+а_m2х₂+…+а_mnx_nb_m}

(3): F=с₁х₁+ с₂х₂+ с_nх_n

ЭММ: составить такой план выпуска продукции х=(х₁,х₂,…,х_n), удовлетворяющий (1), (2), при кот. целевая ф-ция (3) принимает max значение.

3. Составление рациона (задача о диете, о смесе)

Дневной рацион – n кормов, содержащий m питательных вещ-в.

k_j j= - корма

П_i i= - питат. вещ-ва

х_j – содержание корма k_j в дневном рационе

b_i – необходимый min вещ-ва П_i в дневном рационе

а_ij – число питат. вещ-ва П_i в 1 кг корма k_j

с_j – стоимость 1 кг корма k_j

(1): х_j≥0 j=

(2): а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n≥b₁}

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2nx_n≥b₂}

а_m1х₁+а_m2х₂+…+а_mnx_n≥b_m}

(3): с₁х₁+ с₂х₂+ с_nх_n

ЭММ: составить дневной рацион х=(х₁,х₂,…,х_n), удовлетворяющий (1), (2) системе ограничений, при кот. (3) принимает min значения.