8. Решение слу в матричной форме

А*Х=b: рассмотрим систему (*)

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n=b₁}

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n=b₂} (*)

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_ijx_j+…+a_inx_n=bi}

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n=b_m}

в матричной форме. Пусть m=n и ∆А ≠0. Тогда сущ. A^-1. Домножим обе части ур-я на A^-1 слева:

A^-1*АХ=A^-1*b

ЕХ=A^-1*b

Х= A^-1*b – решение ур-я.

9. Метод Гаусса решения слу

Рассмотрим (*)

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n=b₁}

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n=b₂} (*)

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_ijx_j+…+a_inx_n=bi}

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n=b_m}

в общем виде:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+…+a_1nx_n=b₁}

a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+…+a_2nx_n=b₂}

a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+…+a_3nx_n=b₃}

a_m1x₁+a_m2x₂+a_m3x₃+…+a_mnx_n=b_m}

1. Предположим, что a₁₁≠0 (в первом ур-ии содержится неизвестная x₁). Этого всегда можно добиться путем перестановки ур-ий.

1. умножим первое уравнение на число ( ) и прибавим ко второму ур-нию.

2. умножим первое ур-е на ( ) и прибавим к n-ому. В результате в (*), начиная со второго ур-я неизвестная x₁ будет исключена, в результате чего система примет вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+…+a_1nx_n=b₁}

₂₂x₂+ ₂₃x₃+…+ _2nx_n= ₂}

₃₂x₂+ ₃₃x₃+…+ _3nx_n= ₃} ( )

_m2x₂+ _m3x₃+…+ _mnx_n= _m}

₂₃=

_ij=а_ij- , i= ; j=

_i=

₂=b₁* +b₂

2. Предположим, что ₂₂≠0 (в противном случае необходимо переставить уравнения местами, не трогая первое). Умножим второе ур-е на множитель и прибавим к третьему. Умножим на и прибавим к четвертому. Умножим на и прибавим к n-ному.

a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+…+a_1nx_n=b₁}

₂₂x₂+ ₂₃x₃+…+ _2nx_n= ₂}

₃₃x₃+…+ _3nx_n= ₃} ( )

_m3x₃+…+ _mnx_n= _m}

В этой системе неизвестная х₂ исключена из всех ур-ий, начиная с третьего.

Все последующие шаги выполняются аналогично. Так как на каждом шаге искл. неизвестная, то этот метод – метод последовательного исключения неизвестных. Т. о. мы придем к системе ( ):

₁₁x₁+ ₁₂x₂+ ₁₃x₃+…+ _1nx_n= ₁}

₂₂x₂+ ₂₃x₃+…+ _2nx_n= ₂}

₃₃x₃+…+ _3nx_n= ₃}

_mnx_n= _n}

Из n-ного ур-ия найдем х_n= и подставляем его во все ур-я. Из предпоследнего найдем х_n-1; подставляя найденные значения во все ур-я выше, из предпоследнего ур-я найдем х_n-2 и т.д. На n-ном шаге из первого ур-ия определяется х₁.

10. Разложение вектора по системе векторов

Рассмотрим систему n-мерных векторов а₁, а₂, …, а_р. Рассмотрим последовательность р чисел k₁, k₂,…, k_р. Рассмотрим произведение векторов на соответствующие числа и найдем их сумму. Она – некоторый вектор k₁а₁+ k₂а₂+…+k_ра_р. Полученный вектор – линейная комбинация векторов а_i с коэф-тами k_i. Вектор b – линейная комбинация векторов а₁, а₂, …, а_р, если сущ. числа k₁, k₂,…, k_р такие, что b= k₁а₁+ k₂а₂+…+k_ра_р. При этом говорят, что b линейно выражается через вектора а_i или вектор b разлагается по векторам а_i.

Теорема.

1. Нулевой вектор разлагается по каждой системе векторов а_i. В этом случае k_i=0, т. е. 0=0*а₁+0*а₂+…+0*а_р

2. Если b разлагается по части системы векторов, т. е. по а₁, а₂, …, а_s, где s<p, то он разлагается по всей системе векторов.

3. Каждый n-мерный вектор b с координатами b_i можно разложить по системе векторов такой, что p=n е₁,е₂,…е_n, где е₁=(1,0,…,0), е₂=(0,1,…,0), е_n=(0,0,…,1). Тогда k_i=b_i

4. Если вектор а разлагается по системе векторов b₁,b₂,…,b_m, а каждый вектор этой системы разлагается по системе векторов с₁,с₂,…,с_n, то вектор а разлагается по системе с₁,с₂,…,с_n.

Теорема. Чтобы найти разложение вектора b по системе векторов а₁, а₂, …, а_р достаточно найти одно ненулевое решение системы а₁x₁+а₂x₂+…+а_рx_р=b. Тогда k_i=х_i.