Задача оптимального управления с непрерывным временем

Рассмотрим задачу о запуске ракеты с поверхности земли до высоты, которую ракета должна достичь за время Т. Обозначим через y ( t ) высоту, достигнутую ракетой за время t, а через u( t ) – силу действующую на ракету в вертикальном направлении в момент t. Пусть масса ракеты равна m. Тогда уравнение движения имеет вид:

(1.69)

где – ускорение движения ракеты в момент времени t ,

g – ускорение свободного падения.

Будем считать, что максимальная сила, прилагаемая к ракете в любой момент, не превосходит b. Требуется вычислить минимальную энергию, которую необходимо затратить для выведения ракеты на высоту за время Т.

Эта задача может быть сформулирована следующим образом:

при условиях: (1.70)

Уравнение эквивалентно системе уравнений:

(1.71)

Таким образом, задача (1.70) принимает вид:

при условиях: .

Разделим отрезок [0,T] на K интервалов длины . Чтобы упростить запись, будем считать, что  = 1. Обозначим силу, действующую на ракету, высоту полета над поверхностью и скорость ракеты в конце k-го периода соответственно через u_k , y_1k , y_2k . Тогда задача оптимального управления полетом ракеты можно аппроксимировать следующей задачей нелинейного программирования:

при условиях: . (1.72)

Несмотря на простоту данного примера наглядно видны принципы и приемы сведения задач оптимального управления к задачам математического программирования.

Пример 1.10. Целочисленные модели

Задача о размещении

Рассмотрим какую-нибудь отрасль промышленности, выпускающую товары широкого потребления, которые прямо с заводов отправляются в торговые предприятия. Требуется ответить на вопрос, где разместить каждое из промышленных предприятий и каковы должны быть их производственные мощности. При этом известно местонахождение каждой торговой точки, занимающейся розничной продажей товаров данной отрасли промышленности и известны потребности каждой из этих точек.

Пусть b₁ , b₂ , ..., b_n , – объемы продукции, необходимые для покрытия потребностей « п » имеющихся торговых точек,

a₁ , a₂ , ..., a_m – производственные мощности «т» заводов, о размещении которых идет речь.

Допустим, что известна стоимость каждого из заводов: стоимость строительства i - го завода обозначим через f_i . Расходы на доставку единицы продукции от i -го завода до j -ой торговой точки равны c_{i j} . Предположим, что i -м заводом j - й торговой точке поставляется x_{i j} единиц продукции. Введем переменную y_i, такую, что

y_i = 1 , если i - й завод решено построить;

y_i = 0, если i - й завод решено не строить.

Задача заключается в том, чтобы минимизировать сумму расходов на строительство заводов и доставку товара торговым точкам при полном удовлетворении спроса потребителей.

Математическая модель задачи выглядит следующим образом:

при условиях: (1.73)

Если было бы заранее известно, какие заводы и где решено построить, все свелось бы к решению обычной транспортной задачи (пример 1.8).