4.6. Тесты на устойчивость

Тесты на устойчивость для регрессионной модели предназначены для оценки того, насколько поведение модели в послевыборочном периоде сравнимо с ее повелением в период выборки, на которой она была получе­на. В основании организации тестов на устойчивость могут лежать два принципа. Первый подход — сосредоточиться на предсказательной способ­ности модели, второй подход — оценить, происходит ли сдвиг параметров в период предсказания.

Тест Чоу на неудачу предсказания

Как мы видели в предыдущем подразделе, ошибку предсказания можно рассчитать, добавив набор фиктивных переменных для наблюдений пе­риода предсказания. Теперь вполне естественно определить, существенно ли ошибка предсказания отличается от нуля, и мы можем сделать это с по­мощью F-теста на совместную объясняющую способность фиктивных пе­ременных. Совместив период выборки и период предсказания, мы оценим уравнение регрессии сначала без набора фиктивных переменных, а затем — вместе с ним. Обозначим полученные суммы квадратов отклонений как RSS_T+p и RSS^D _T+p; где нижний индекс показывает число наблюдений в ре­грессии, а верхний индекс D означает включение в уравнение фиктивных переменных. С помощью F-теста описанного в разделе 3.5, мы можем определить, было ли существенным улучшение качества уравнения после добавления набора фиктивных переменных. Улучшение равно (RSS_{T+ р} – RSS^D _T+p); число фиктивных переменных — P; сумма квадратов отклонений после включения фиктивных переменных — RSS^D _T+p; остающееся число степеней свободы равно числу наблюдений в совмещенной выборке (T+Р) за вычетом числа оцененных параметров (k + Р). В итоге значение F-статис­тики составит:

(11.61)

На самом деле для реализации теста даже не требуется оценивать уравне­ние регрессии с фиктивными переменными, поскольку значение RSS^D _T+p равно значению RSS_T— сумме квадратов отклонений для уравнения ре­грессии, оцененного на периоде выборки. Качество этой регрессии в точ­ности такое же, как и у регрессии для первых Т наблюдений в уравнении с фиктивными переменными, и отклонения здесь те же самые. Для послед­них Р наблюдений в уравнении с фиктивными переменными нет отклоне­ний, так как включение специальной фиктивной переменной для каждого наблюдения гарантирует точность уравнения для этих наблюдений. В итоге значение RSS^D _T+p в точности такое же, как и значение RSS_T, и F-статистика может быть переписана как

(11.62)

Этот тест известен как тест Чоу на неудачу предсказания и был назван так по имени своего создателя (Chow, 1960), однако приводимая здесь интерпретация теста была предложена несколько позже X. Песараном, Р. Смитом и С. Ео (Pesaran, Smith, Yeo, 1985).

Пример

Функция расходов на жилье вначале была оценена для периода 1959— 1999 гг., со значением RSS_T= 0,009673, а затем — для периода 1959—2003 гг., при этом RSS_T+p = 0,011937. Следовательно, F-статистика равна

(11.63)

Нулевая гипотеза заключается в том, что все коэффициенты при фик­тивных переменных равны нулю. Критическое значение F(4; 38) на 5%-ном уровне значимости составляет 2,62. Следовательно, различие между каче­ством уравнения для периода оценивания и периода предсказания отсут­ствует, и мы не отвергаем гипотезу об устойчивости модели.

F-тест на устойчивость коэффициентов

Если для периода предсказания имеется достаточное число наблюдений, т.е. можно проверить, совпадали ли значения коэффициентов в период вы­борки и период предсказания, выполнив тест Чоу так, как это описано в гл. 5. Чтобы выполнить этот тест, нужно оценить отдельные регрессии для периода выборки и периода предсказания, а затем для всего периода и про­верить, дает ли разбиение всего периода на периоды выборки и предсказа­ния значимое улучшение оценок по сравнению с оценками для всего пе­риода. Если такое улучшение наблюдается, то это означает неустойчивость оценок.

Пример

В случае с функцией расходов на жилье при рассмотрении 1959—1999 гг. как периода выборки и 2000—2003 гг. как периода предсказания, суммы квадратов отклонений для периода выборки, периода предсказания и всего периода равнялись соответственно 0,009673; 0,000012 и 0,011937. Оценива­ние отдельных регрессий для двух подпериодов «стоит» трех степеней сво­боды, и число степеней свободы, остающееся после оценивания шести па­раметров (по два постоянных члена, коэффициента при LGDPI и коэффи­циента при LGPRHOUS) равно 39. Следовательно, мы получаем следующую F-статистику, распределенную с 3 и 39 степенями свободы:

(11.64)

Критическое значение F(3; 39) на 5%-ном уровне значимости составляет 2,84, так что мы можем сделать вывод о наличии некоторых оснований предполагать нестабильность коэффициентов. На уровне значимости 1% критическое значение составляет 4,31. Таким образом, возможны ситуации, когда тест Чоу на неудачу предсказания и F-тест на устойчивость коэффи­циентов приводят к разным выводам. Однако даже в этом случае разница между ними не слишком значительная. Тест на неудачу предсказания ока­зался почти значим на уровне 5%, а тест на стабильность коэффициентов значим на этом уровне с совсем небольшим отклонением от критического значения.

Ключевые понятия

гипотеза о постоянном доходе

лаговая структура

модель адаптивных ожиданий

модель учета привычек

модель частичной корректировки

предсказание

прогноз

простая лаговая структура

процесс генерирования данных

распределение Койка

реализация

решетчатый поиск

тест Чоу на неудачу предсказания

трансформация Койка