4.2. Динамические модели

Далее мы добавим в модель некоторую простую динамику. Можно пред­положить, что некоторые виды потребительских расходов в значительной мере определяются текущими доходами и ценами, но это не так для таких категорий расходов, как жилье, которые подвержены значительной инер­ции. Мы рассмотрим спецификации модели, в которых расходы на жилье зависят от показателей доходов и цен с некоторым временным лагом, и по­пытаемся определить лаговую структуру, т.е. значения коэффициентов те­кущих и лаговых (запаздывающих) значений объясняющих переменных Значения переменной X с лагом в один период времени — это просто пред­шествующие значения X, и для удобства мы их обозначим как Х (-1). Обобщая, можно сказать, что переменная с лагом в s периодов времени имеет значения X в предшествующие s периодов, и она обозначается как X(-s). Основные регрессионные пакеты понимают такое обозначение, и для них нет необходимости обозначать лаговые переменные отдельно. В табл. 11.3 приведены данные для LGDPI, LGDPI(-1) и LGDPI(-2).Отметим, что между переменными LGDPI, LGDPI(-1) и LGDP1(-2)имеется высокая корреляция и это создает определенные проблемы.

Таблица 11.3.Текущие и лаговые значения логарифма располагаемого личного дохода

Год	LGDPI	LGDPI(-1)	LGDPI(-2)
1959	7 4474		—
1960	7,4729	7,4474	—
1961	7,5062	7,4729	7,4474
1962	7,5539	7,5062	7,4729
1963	7,5904	7,5539	7,5062
1964	7,660Г	7,5904	7,5539
1965	7,7202	7.6605	7.5904
1996	8,7129	8,6837	8,6563
1997	8,7476	8,7129	8,6837
1998	8,8045	8,7476	8,7129
1999	8,8337	8,8045	8,7476
2000	8,8810	8,8337	8,8045
2001	8,9002	8,8810	8,8337
2002	8,9306	8,9002	8,8810
200З	8,9534	8,9306	8,9002

В первом столбце табл. 11.4 представлены результаты оценивания лога­рифмической регрессии с использованием текущих доходов и цен. Во втором и третьем столбцах показаны результаты оценивания регрессии расхо­дов на жилье на показатели дохода и цен с лагом в один и два периода соответственно. Разумно предположить, что расходы на некоторую категорию благ могут зависеть как от текущих, так и от лаговых показателей дохода и цен.

Таблица 11.4.Альтернативные спецификации с лагом расходы на жилье

Variable	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
LGDPI	1,03 (0,01)	—	—	0,33 (0,15)	0.29 (0 14)
LGDPI(-1)	—	1,01 (0,01)	—	0,68 (0,15)	0,22 (0,20)
LGDPI(-2)	—	—	0,98 (0,01)	—	0,49 (0,13)
LGPRHOUS	-0,48 (0,04)		—	-0,09 (0,17)	-0,28 (0.17)
LGPRHOUS(-1)	—	0,43 (0,04)	—	-0,36 (0,17)	0,23 (0,30)
LGPRHOUF(-2)	—	—	-0,38 (0,04)	—	-0,38 (0,18)
R2	0,999	U.999	0,999	0,999	0,999

В четвертом столбце показаны результаты оценивания регрессии с ис­пользованием текущих показателей довода и цен, а также с лагом в один период времени. В пятом столбце добавлены также эти переменные с лагом в два периода.

Первые три уравнения регрессии почти совпадают. Это произошло вследствие очень высокой корреляции между LGDPI, LGDPL(-1) и LGDPI(-2). В последних двух уравнениях видны классические симптомы мультиколли­неарности. Точечные оценки здесь нестабильны, а стандартные ошибки стали намного большими при одновременном включении в уравнение ре­грессии текущих и лаговых показателей дохода и цен. Мы можем получить точные оценки долгосрочных эластичностей по доходу и цене (см. Вставку11.1), но из-за мультиколлинеарности мы не можем различать их теку­щие и лаговые эффекты. Для расходов типа расходов на жилье, где можно ожидать длительные лаги, простое добавление лагов в статическую модель вряд ли поможет нам определить структуру лагов.

Общим подходом к решению проблемы мультиколлинеарности является введение предположения о том, что данный динамический процесс име­ет простую лаговую структуру, т.е. эта структура может быть описана с по­мощью небольшого числа параметров. Одна из наиболее распространенных лаговых структур описывается распределением Койка, в котором предпо­лагается, что коэффициенты при лаговых объясняющих переменных явля­ются членами убывающей геометрической прогрессии. Мы рассмотрим две такие модели адаптивных ожиданий и частичной корректировки.

Вставка 11.1.Репараметризация динамической модели для определения долгосрочных эффектов

Предположим, что у нас есть следующая регрессия:

y= β₁+ β₂X_t - β₃ X_t-1 + β₄ X_t-2 + u_t.

Как мы уже видели, мультиколлинеарность может помешать получить точ­ные оценки β₂, β₃ и β₄. Тем не менее, можно продемонстрировать, что оценка долгосрочного эффекта Х на Y стабильна. В равновесии мы имеем:

Y = β₁+ β₂X + β₃ X + β₄X = β₁+ (β₂+ β₃+ β₄) X,

где Y и X - равновесные значения Y и Х. Следовательно, (β₂+ β₃+ β₄) представ­ляет собой оценку долгосрочного влияния X. Мы можем рассчитать это число исходя из точечных оценок β₂, β₃ и β₄ в начальной спецификации, но нам не хватает оценки стандартной ошибки. Чтобы оценить стандартную ошибку, пере­пишем модель следующим образом:

У_t = β₁+ (β₂+ β₃+ β₄)X_t - β₃ (X_t - X_t-1 )- β₄ (X_t - X_t-2 ) + u_t

Точечная оценка коэффициента при X_t есть сумма точечных оценок β₂, β₃ и β₄ в начальной спецификации, так что теперь мы можем получить необходимую стандартную ошибку. Так как вполне возможно, что значения X не сильно коррелированы с (X_t - X_t-1)или (X_t –X_t-2), проблема мультиколлинеарности может отсутствовать, так что стандартная ошибка будет довольно небольшой. Если мо­дель из пятого столбца табл11.4 переписать представленным способом и оце­нить, то мы получим оценку коэффициента при LGDPI_t, равную 1,00 со стан­дартной ошибкой 0,01, и оценку коэффициента при LGPRHOUS_t равную -0,41 со стандартной ошибкой 0,01. Как и ожидалось, стандартные ошибки при такой спецификации намного ниже, чем ошибки индивидуальных коэффициентов в начальной спецификации.