4. Моделирование по данным временных рядов

До сих пор наш анализ основывался на чанных перекрестных выборок в рамках модели А, а также более реалистичной модели Б. Теперь мы перехо­дим к данным временных рядов и модели С. Основное различие между мо­делью С и моделью В состоит в характере процесса генерирования данных (ПГД) или в том, как мы объясняем способ получения наблюдений. В модели В ПГД был очень прост: наблюдения генерировались случайно и неза­висимо Как следствие, порядок наблюдений в выборке был произвольным. Однако в модели С присутствие времени привносит естественный порядок. Чтобы подчеркнуть этот факт, будем использовать индекс t,а не I для на­блюдений, а их число обозначим как Т вместо n. Порядок не имеет значе­ния, если наблюдения для регрессоров генерировались случайным образом из фиксированной генеральной совокупности. Однако по двум причинам мы имеем дело не с этим случаем.

Во-первых, наблюдения для переменной А обозначают последовательность {X₁, ..., X_T}, которая является подмножеством потенциально бесконечной последовательности {X_-∞,...,Х₀, X₁ ...,Х_T, Х_Т-1,...,X_∞}.Этот феномен опи­сывается как реализации процесса генерирования данных для периода t= 1,..., Т. Концептуально это отличается от случайной выборки из фикси­рованной генеральной совокупности. Во-вторых, многие регрессоры в мо­делях временных рядов обладают инерционностью, так что ПГД характери­зуется эволюцией на протяжении времени, а последовательные наблюдения оказываются коррелированными друг с другом.

Эти отличия приводят к тому, что свойства модели регрессии, в свою очередь, тоже будут отличаться от свойств модели В. Эти свойства, очевид­но, зависят от предпосылок регрессионной модели, так что нам будет необ­ходимо переформулировать их для случая регрессий временных рядов. Мы, однако, не будем это делать абстрактно, а отложим данную задачу до следу­ющей главы. Чтобы понять предпосылки, полезно познакомиться с регрес­сиями для временных рядов. В соответствии с этим в данной главе будут рассмотрены некоторые модели с несложной динамикой, а новая формули­ровка предпосылок будет сделана позже.

4.1. Статистические модели

Анализ здесь будет в основном иллюстрировать данные для оценивания функций спроса. Они получены на основе национальных счетов, опубликованных Бюро переписей США, и включают ежегодные агрегированные показатели по 20 различным категориям потребительских расходов за пери­од 1959 -2003 гг., наряду с данными о располагаемом личном доходе DPI и индексами цен по данным 20 категориям. Подробное описание, а также ин­формацию по загрузке данных с веб-сайта можно найти в Приложении В. Для примеров и упражнений используются две категории расходов – FOOD и HOUS (потребительские расходы на продовольствие и жилье соответ­ственно). Другие категории расходов предназначены для практической работы студентов в небольших группах, где каждый студент работает со своей категорией расходов, начиная с простейшей модели парной регрессии и по­степенно переходя к более сложным. Мы начнем с простой спецификации функции спроса на жилье, оценивая регрессию потребительских расходов по данной категории HOUS на DPI и индекс цен на жилье — PRELHOUS:

HOUS_t = β₁+β₂DPI_t +β₃ SRELHOUS_t + u_t (11.1)

Показатели HOUS и DPI измерены в миллиардах долларов в постоянных ценах 2000 г. Показатель PRELHOUS — это индекс, построенный путем де­ления номинального ценового дефлятора для жилья PFOUS на ценовой де­флятор для совокупных личных расходов РТРЕ и умножения на 100. Таким образом, HRELHOUS есть реальный, или относительный, индекс цен, пока­зывающий, становилось ли жилье более или менее дорогим по сравнению с остальными видами расходов. Динамика этого показателя представлена на рис. 11.1. Ясно, что данная относительная цена уменьшилась примерно на 10% с начала 1960-х до конца 1970-х гг., и индекс с тех пор демонстрирует медленный рост.

Рис 11.1. Ряд показателей относительных цен на жилье, 1959-2003 (2000=100)

Непосредственное оценивание линейной регрессии с помощью про­граммы EViews дало результат, представленный в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Dependent Variable: HOUS

Method: Least Squares

Sample: 1959 2003

Included observations:45

VariaDie	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
С	334.6657	37.26625	8.980396		0.0000
DPI	0.150925	0.001665	90.65785		0.0000
PRELHOUS	-3.834387	0.460490	- 8.326764		0.0000
R-squared	0.996722		Mean dependent var		630.2830
Adjusted R-squared	0.996566		S.D.dependent var		249.2620
S.E. of regression	14.60740		Akaike info criter		8.265274
Sum squared resid	8961.801		Schwarz criterion		8.385719
Log likelinood	-182.9687		F-statistic		6385.025
Durbin-Watson stat	0.337638		Prob(F-statistic)		0.000000

Это уравнение говорит о том, что увеличение располагаемого личного дохода на 1 млрд. долл. ведет к увеличению расходов на жилье на 0,15 млрд. долл. Иными словами, из 1 долл. дополнительно 15 центов будут израсходо­ваны на жилье Можно ли доверять этой цифре? Ответить на этот вопрос нелегко, но очевидно, что жилье является самой большой составляющей потребительских расходов, и можно ожидать, что данный коэффициент до­статочно велик. Отметим, что мы сейчас говорим об использовании жилья, а не об инвестициях в жилищное строительство. Использование жилья — это стоимость услуг, оказываемых с помощью имеющегося жилищного фонда. В случае аренды жилья в качестве расходов на жилье рассматривается арендная плата. В случае проживания в собственном жилье или аренды по льготным расценкам используется вмененная арендная плата, т.е. ры­ночная стоимость аренды этого жилья. Коэффициент при переменной PRELHOUS говорит о том, что увеличение ценового индекса на единицу приводит к сокращению расходов на жилье на 3,83 млрд. долл. Постоянный член в буквальном смысле показывает сумму, которая была бы потрачена на жилье, если бы обе переменные DPI и PRELHOUS равнялись нулю, но оче­видно, что эта интерпретация лишена смысла. Если говорить об отдельных домохозяйствах, то среди них могли бы быть такие, которые не имеют дохо­дов вообще, но пользуются жильем и другими предметами первой необхо­димости на основе трансфертных платежей, но здесь мы говорим о сово­купных данных для США в целом, и поэтому подобная интерпретация не имеет отношения к реальности.

Часто считают, что с математической точки зрения для функции спроса наиболее подходит функция с постоянной эластичностью следующего вида:

НОUS = β₁ DPI^β₂ PRELHOUS^β₃ (11.2)

Линеаризовав ее с помощью логарифмирования, получаем

LGHOUS= β′₁+ β₂LGDPI + β₃PRELHOUS + u, (11.3)

где LGHOUS, LGDPI и LGPRHOUS — (натуральные) логарифмы HOUS, DPI и PRFLHOUS соответственно; и— натуральный логарифм случайного чле­на v, — β′₁ логарифм β₁, β₂ и β₃ представляют собой эластичности спроса по доходу и цене соответственно. Результат оценивания регрессии показан в табл. 11.2.

Коэффициенты при LGDPI и LGPRHOUS есть непосредственные оценки эластичностей спроса по доходу и цене соответственно. Похоже ли число 1,01 на эластичность спроса по доходу? Вполне вероятно. Принято подразделять потребительские расходы на нормальные и «худшие» блага, виды расходов, эластичности которых по доходу соответственно положительны и отрицательны, и далее подразделять нормальные блага на предметы первой необходимости и предметы роскоши, виды расходов, эластичности кото­рых по доходу соответственно меньше единицы и больше единицы. Оче­видно, что жилье является предметом первой необходимости, поэтому можно ожидать, что эластичность спроса на него окажется положительной, но меньшей единицы. Однако жилье включает и элемент роскоши, по­скольку при увеличении своих доходов люди тратят больше на более качес­твенное жилье. В результате общая ожидаемая оценка оказывается близкой к единице, поэтому полученная нами величина представляется разумной.

Таблица 11.2

Dependent Variable: LGHOUS

Method: Least Squares

Sample: 1959 2003

Included observations: 45

VariaDie	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
С	0.005625	0.167903	0.033501		0.8734
DPI	1.031918	0.006649	155.1976		0.0000
PRELHOUS	-0.483421	0.041780	-11.57056		0.0000
R-squared	0.998583		Mean dependent var		6.359334
Adjusted R-squared	0.998515		S.D.dependent var		0.437527
S.E. of regression	0.016859		Akaike info criter		-5.263574
Sum squared resid	0.011937		Schwarz criterion		-5.1431130
Log likelinood	121.4304		F-statistic		14797.05
Durbin-Watson stat	0.633113		Prob(F-statistic)		0.000000