4.3. Модель адаптивных ожиданий

В прикладной экономике часто возникает необходимость моделировать ожидания. Это может быть очень важной и сложной задачей. В макроэко­номике, например, инвестиции, сбережения и спрос на активы чувствительны к ожиданиям относительно будущего. К сожалению, непосред­ственное измерение ожиданий не представляется возможным. В результате этого макроэкономические модели не позволяют получать достаточно точ­ных прогнозов, что затрудняет экономическое регулирование.

Если ожидания непосредственно не наблюдаемы, то могут быть исполь­зованы некоторые косвенные способы их оценки. Модель адаптивных ожи­даний — одно из возможных решений. Этот процесс заключается в простой корректировке ожиданий, когда в каждый период времени реальное значе­ние переменной сравнивается с ее ожидаемым значением. Если реальное значение оказывается больше, то значение, ожидаемое в следующем пе­риоде, корректируется в сторону повышения, если меньше — то в сторону уменьшения. Предполагается, что размер корректировки пропорционален разности между реальным и ожидаемым значениями переменной.

Таким образом, если рассматривается переменная X, a X^e_t — ее значение, ожидаемое в период t на основе информации, имевшейся в период t- 1, то:

X^e_t+1-X^e_t = l(X_t-X^e_t) (0≤λ≤1). (11.4)

Это выражение может быть переписано в виде:

X^e_t+1 =λ X_t + (1-λ) X^e_t (0≤λ≤1). (11.5)

Выражение (11.5) утверждает, чти значение переменной X, ожидаемое в следующий период времени, формируется как взвешенное среднее ее ре­ального и ожидаемого значений в текущем периоде. Чем больше величи­на X, тем быстрее ожидаемое значение адаптируется к предыдущим реаль­ным значениям переменной.

Предположим, например, что зависимая переменная Y_t связана с ожида­емым значением X^e_t+1 объясняющей переменной X в году t +1:

Y_t = β₁ + β₂ X^e_t+1 + u_t (11.6)

Равенство (11.6) выражает Y через величину X^e_t+1, которая ненаблюдаема и которую необходимо так или иначе заменить наблюдаемыми переменны­ми, т.е. реальными текущим и прошлыми значениями переменной Х и, мо­жет быть, прошлыми значениями переменной Y.

Начнем с замены воспользовавшись формулой (11.5):

Y = β₁+ β₂ (λX_t + (1-λ) X^e_t ) + u_t = β₁+ β₂ λX_t+ β₂ (1-λ) X^e_t + u_t (11.7)

Конечно, у нас по-прежнему есть ненаблюдаемая объясняющая пере­менная X^e_t, но если равенство (11.5) верно для некоторого периода t, то оно также верно и для периода t - 1:

X^e_t = λ X_t-1+ (1-λ) X^e_t-1 (11.8)

Подставив выражение для X^e_t в уравнение (11.7), мы получим:

Y_t = β₁+ β₂ λX_t +β₂ λ(1-λ) X_t-1+ β₂ λ(1-λ)² X^e_t-1 + u_t (11.9)

После добавления лагов и подстановки, выполненных s раз, выражение приобретает вид:

Y_t =β₁+ β₂ λX_t+β₂ λ(1-λ)X_t-1+β₂ λ(1-λ)²X^e_t-2 +…+β₂ λ(1-λ)^s-1 X_t-s+1+ β₂ λ(1-λ)^s X^e_t-s+1 + u_r (11.10)

Теперь разумно предположите, что λ лежит между 0 и 1, и в этом случае (1 - λ) будет также находиться между 0 и 1. Таким образом, (1 - λ)^s бесконеч­но убывает при возрастании s. В конечном счете на некотором шаге член β₂ (1 - λ)^s X^e_t-s+1, становится пренебрежимо малым, и мы получаем модель, в которой все переменные наблюдаемы.

Лаговые переменные имеют здесь чеса, бесконечно убывающие в гео­метрической прогрессии, и такая структура описывается распределением Койка. Как мы видели из уравнения (11.10), оно очень просто с точки зрения параметризации, предполагая оценивание лишь одного дополни­тельного параметра по сравнению со статическим вариантом модели. По­скольку оно нелинейно по параметрам, при его оценивании не следует ис­пользовать МНК, причем сразу по двум причинам. Во-первых, мультиколлинеарность почти наверняка сделает оценки коэффициентов столь ненадежными, что они потеряют всякую ценность, — это как раз и есть та причина, которая побудила нас искать другие способы описания структуры лага. Во-вторых, полученные точечные оценки коэффициентов оказыва­ются несовместимыми для расчета параметров модели. Например, предпо­ложим, что оценена следующая зависимость:

Y_t = 101 +0,60Х_t+ 0,45X_t-₁ + 0,20Х _t-2+... (11.11)

Приравнивая теоретические выражения для коэффициентов при теку­щем и лаговых значениях X в уравнение (11.10) к оценкам из уравнения (11.11), получаем b₂l=0,60, b₂l(1 -l)= 0,45 и b₂l(l -1)²= 0,20. Из первых двух равенств следует, что b₂ равно 2,40 и l равно 0,25, но эти величины не удо­влетворяют третьему уравнению и уравнениям для всех остальных коэффи­циентов регрессии.

Вместо этого следует воспользоваться методами нелинейного оценива­ния. Многие основные регрессионные пакеты имеют встроенные возмож­ности для оценивания нелинейных регрессий. Если в вашем пакете этого нет, то можно оценить модель с помощью решетчатого поиска. Мы опишем здесь этот метод, хотя он и устарел, поскольку он поясняет процедуру реше­ния проблемы мультиколлинеарности. Перепишем уравнение (11.10) в виде двух уравнений:

Y_t = β₁+ β₂Z_t + u_t (11.12)

Z_t = λX_t+λ(1-λ) X_t-1+ λ(1-λ)² X_t-2+ λ(1-λ)³ X_t-3 (11.13)

Значения Z_t, разумеется, зависят от величины λ. Мы рассчитываем 10 вариантов данных для переменной Z_t, используя следующие значения λ: 0,1.0.2,0,3. 1,0 и оцениваем уравнение (11.12) с каждым из них. Вариант с наименьшей суммой квадратов остатков есть по определению решение по методу наименьших квадратов. Отметим, что все уравнения регрессии сво­дятся к уравнению парной регрессии Y на различные варианты Z, и поэтому проблема мультиколлинеарности полностью снимается.

В табл. 11.5 показаны оценки параметров и сумм квадратов остатков для решетчатого поиска, когда зависимой переменной был логарифм спроса на жилье, а объясняющими переменными — логарифмы DPI и относительных цен на жилье. При этом использовались восемь лаговых значений. Можно видеть, что оптимальное значение λ примерно равно 0,2, эластичность спроса по доходу примерно равна 1,12, а эластичность по цене — примерно -0,44.

Таблица 11.5. Логарифмическая регрессия расходов на жилье от располагаемого личного дохода и индекса относительных цен для модели адаптивных ожиданий (оценена с помощью решетчатого поиска)

λ	b2	с.о.(b2)	Ь3	с.о. (b3)	RSS
0,1	1,55	0,01	-0,54	0,05	0,002107
0.2	1,12	0,01	-0,44	0,03	0,001901
0,3	1,03	0,01	-0,45	0,03	0,002063
0,4	1,02	0,01	-0,49 0,03	0,03	0,002533
0,5	1,03	0,01	-0,52	0,03	0,003190
0,6	1,04	0,01	-0,55	0,04	0,003935
0,7	1,05	0,01	-0,57	0,04	0,004719
0,8	1,06	0,01	-0,59	0,05	0,005531
0,9	1,06	0,01	-0,60	0,05	0,006377
1,0	1,07	0,01	-0,61	0,05	0,007263

Для более точной оценки λ можно продолжить решетчатый поиск с шагом 0,01 в диапазоне между 0,1 и 0,3 оказывается, что λ равно 0,21, при­чем эластичность по доходу составляет 1,11, а эластичность по цене не из­менилась. Отметим, что неявный коэффициент для дохода при X_t-8 β₂λ(1-λ)⁸, равнялся примерно 1,11 х 0,21 х 0,79⁸= 0,0354. Возможно, было бы лучше использовать большее число лагов. Проблема состоит в том, что веса в нашем случае уменьшаются слишком медленно, поскольку скорость корректировки λ мала, а значение 1 - λ велико

Динамика в модели адаптивных ожиданий

Как можно видеть из (11.10), в уравнении для Y_t текущее значение X имеет коэффициент β₂λ. Это — краткосрочное воздействие Х на Y. В момент времени t все члены, включающие лаговые значения λ, уже определены и, следовательно, формируют часть постоянного члена в краткосрочной зави­симости. Мы, однако, можем построить и долгосрочную зависимость меж­ду Y и X, показав, как равновесное значение Y связано с равновесным зна­чением X, ее а и такое равновесие достигнуто. Обозначив равновесные зна­чения Y и У. соответственно как Y и X, в точке равновесия мы имеем Y_t = Y и X_t = X_t-1 = X_t-2 =…=X .Подставив эти выражения в формулу (11 10), получаем:

Y = β₁ + β₂λX + β₂λ(1-λ)X+ β₂λ(1-λ)²X+…= β₁+ β₂X[λ+ λ(1- λ)+ λ(1- λ)²+…]= β₁ + β₂X (11.14)

Чтобы продемонстрировать последний шаг, запишем:

S=λ + λ (1-λ) + λ (1-λ)² (11.15)

Тогда:

(1-λ)S= λ (1-λ) + λ (1-λ)²+ λ(1-λ)³… (11.16)

Вычитая уравнение (11.16) из уравнения (11.15), получаем:

S-(1- λ)S = λ , (11.17)

и, следовательно, S = 1. Таким образом, долгосрочное воздействие X на Y описывается коэффициентом β₂ .

Альтернативный способ изучения динамики в модели адаптивных ожи­даний заключается в выполнении так называемого преобразования Койка. Оно позволяет выразить зависимую переменную через конечное число на­блюдаемых переменных: текущие значения объясняющих переменных (пе­ременной) и саму объясняющую переменную с временным лагом в один период. Мы вновь начнем с исходных уравнений и путем преобразований получим (11.20):

Y_t-1= β₁ + β₂ X^e_t+ u_t-1 (11.18)

X^e_t+1= λ X_t+(1- λ) X^e_t (11.19)

Y_t = β₁+ β₂(λ X_t + (1 - λ) X^e_t) + и_t= β₁+ β₂ λ X_t + β₂(1- λ) X^e_t + u_t (11.20)

Далее, если равенство (11.18) верно для периода t, то оно верно также и для периода t-1:

Y_t-1= β₁ + β₂ X^e_t+ u_t-1 (11.21)

Следовательно,

β₂ X^e_t = Y_t-1- β₁ - u_t-1 (11.22)

Подставив это выражение в уравнение (11.20), получаем:

Y_t = β₁+ β₂λX_t +(1 - λ)( Y_t-1- β₁ - u_t-1) + u_t = β₁ λ+(1 - λ) Y_t-1+β₂ λ X_t + u_t -(1 - λ) u_t-1 (11 23)

Как и ранее, краткосрочный коэффициент при X равен βλ, в то время как постоянный член и зависимости в период t ранен β₁λ+ (1-λ) Y_t-1. В состоянии равновесия из данной зависимости вытекает:

Y= β₁λ+ (1-λ) Y_t + β₂λX, (11.24)

и отсюда:

Y = β₁ + β₂ Х (11.25)

Следовательно, мы вновь получаем в качестве результата то, что β₂ выра­жает долгосрочное воздействие Х на Y.

Мы иccлeдуeм взаимосвязь между краткосрочной и долгосрочной дина­микой графически. Для удобства предположим, что β₂ положительно и что X возрастает во времени, пренебрегая наличием случайного члена. В мо­мент времени t величина Y_t, определяется зависимостью (11.23). Значение Y_{t -1} уже определилось, и поэтому член (1 –λ)У_{t -1} фиксирован. Данное уравнение, таким образом, представляет краткосрочную зависимость между Y_t и Х_t. Выражение β₁λ+ (1-λ) Y_t-1 фактически есть свободный член, а β₂λ— коэффициент наклона. Перейдя к периоду времени t + 1, получаем выраже­ние для Y_t+l:

Y_t+l = β₁λ+ β₂λX_t+1+(1-λ) Y_t (11.26)

а фактический постоянный член равен теперь β₁λ+ (1-λ) Y_t-1. Поскольку X возрастает Y тоже возрастает, и постоянный член теперь больше, чем тот, который был для Y_t, следовательно, линия краткосрочного равновесия сдвинулась вверх. Коэффициент наклона у нее остался тем же, что и ранее, и равен β₂Х. Таким образом, рост Y определяется двумя факторами: прямым воздействием увеличения X и постепенным сдвигом вверх линии кратко­срочной зависимости. На рис. 11.2 показаны зависимости для периодов времени от t до t+ 4. Можно видеть, что линия долгосрочной зависимости оказалась круче, чем линия краткосрочной зависимости.

Рис. 11.2. Краткосрочная и долгосрочная динамика в модели адаптивных ожиданий

Пример: гипотеза Фридмена о постоянном доходе.

Самым известным приложением модели адаптивных ожиданий являет­ся, без сомнения, предложенная М. Фридменом агрегированная функция потребления, оцениваемая по данным временных рядов, и его гипотеза о постоянном доходе. Вскоре после Второй мировой войны эконометристы, работавшие с макроэкономическими данными, были озадачены тем фак­том, что долгосрочная средняя склонность к потреблению оставалась при мерно постоянной, несмотря на то, что предельная склонность к потребле­нию была намного ниже ее модель, в которой текущее потребление явля­лось функцией текущего дохода, не могла объяснить этого явления и, следовательно, была слишком упрощенной. Поэтому было предложено несколько более сложных моделей, которые могли объяснить указанное оче­видное противоречие, а именно модель, основанная на гипотезе М. Фридмана о постоянном доходе, предложенная Т. Брауном модель учета привы­чек (она будет рассмотрена в следующем подразделе), модель, основанная на гипотезе Дьюзенберри об относительном доходе, и модель жизненного цикла Модильяни—Эндо—Брумберга.

В соответствии с гипотезой постоянного дохода постоянное потребле­ние С^р_t пропорционально постоянному доходу Y^p_t.

С^р_t = β₂ Y^p_t (11.27)

Фактический объем потребления С_t, и фактический доход Y_t включают также переменные составляющие C^T_t и Y^T_t; соответственно:

C_t = C^p_t+C^T_t (11.28)

Y=Y^p_t+Y^T_t (11.29)

Предполагается, по крайней мере, в первом приближении, что перемен­ная составляющая потребления и переменная составляющая дохода явля­ются случайными величинами с нулевым математическим ожиданием, рас­пределенными соответственно независимо от величины постоянного по­требления, постоянного дохода и друг от друга. Подставив выражение для C^p_t из уравнения (11.28) в уравнение (11.27), получаем:

C_t = β₂ Y^p_t+ C^T_t (11.30)

В итоге мы получили соотношение между фактическим потреблением и постоянным доходом, где C^T_t играет роль случайного члена, которого до этого не хватало в модели.

Ранее, когда мы обсуждали гипотезу о постоянном доходе в контексте данных для перекрестных выборок, наблюдения относились к отдельным домохозяйствам. Фридмен при оценивании параметров модели использо­вал агрегированные данные временных рядов, Для разрешения проблемы ненаблюдаемости постоянного дохода он предположил, что этот показатель описывается процессом адаптивных ожиданий, в котором приращение ве­личины постоянного дохода пропорционально разности фактического до­хода и постоянного дохода предыдущего периода:

Y^p_t-Y^p_t=λ(Y_t- Y^p_t-1). (11.31)

Следовательно, постоянный доход в период г есть средневзвешенная величина фактического дохода в период t и постоянного дохода в период t- 1:

Y^p_t = λY_t+(l-λ) Y^p_t-1 (11.32)

Фридмен использовал уравнение (11.32) для того, чтобы связать посто­янный доход с текущей и лаговыми величинами фактического дохода. Ко­нечно, это соотношение не может быть использовано непосредственно для измерения постоянного дохода в году t, потому что мы не знаем X, и у нас нет способа измерения Y^p_t . Вторую проблему можно, правда, разрешить, заметив, что если равенство (11.32) выполняется в период t, то оно также выполняется и в период t- 1:

Y^p_t-1 = λY_t-1+(l-λ) Y^p_t-2 (11.33)

Подставляя это выражение в формулу (11.28), мы получаем:

Y^p_t =λY_t + λ (l –λ)Y_t-1 + (1 -λ)²Y^p_t-2 (11 34)

Это соотношение включает неизмеримый член Y^p_t-2, но мы можем ре­шить эту проблему, введя в (11.28) лаг продолжительностью в два периода и сделав соответствующую подстановку, получив, таким образом, выражение Y^p_t через Y_t, Y_t-1, Y_t-2, Y^p_t-3. Продолжив этот процесс до бесконечности, мы можем переписать Y^p_t как взвешенную сумму нынешнего и предыдущих значений измеренного дохода:

Y^p_t= λY_t+ λ (l -λ)Y_t-1+ (1 -λ)²Y_t-2+ (1 -λ)³Y_t-3+… (11.35)

Введя разумное предположение о том, что 1 находится между 0 и 1, мы получим, что (1 – λ)^s есть убывающая функция от s, и, в конечном счете, веса, приписываемые лаговым значениям Y, становятся так малы, что ими можно пренебречь.

У нас по-прежнему остается нерешенной проблема оценивания λ. Фридмен решил воспользоваться для ее решения методом решетчатого поиска, рассчитывая соответствующие ряды показателей постоянного дохода для разных значений λ между 0 и 1 и оценивая затем уравнение регрессии по­требления на каждый из этих показателей постоянного дохода. Далее он выбрал то значение λ, которое позволило получить данные по У^р, обеспе­чившие наилучшее качество оценивания. Фактически, конечно, он оценил тем самым нелинейную модель:

С_t =β₂ λY_t+β₂ λ(l -λ)Y_t-1+(1 -λ)²Y_t-2+…+ C^T (11.36)

Динамические свойства этой модели пока даны на рис. 11.2. Математи­чески их лучше всего анализировать путем выполнения для модели преоб­разования Койка. Это можно сделать в соответствии с уравнениями (11.21)—(11.23) или же путем введения единичного временного лага в урав­нение (11.36) и умножения обеих его частей на (1 - λ):

(1- λ)C_t-1= β₂ λ(l -λ)Y_t-1+(1 -λ)²Y_t-2+(1 -λ)³Y_t-3+…+(l -λ) C^T-1 (11 37)

Вычитая уравнение (11.37) из уравнения (11.36), получаем:

С_t(1 - λ)C_t-1 = β₂ λ Y_t+ C^T -(l -λ) C^T-1 (11.38)

отсюда:

C_t= β₂ λY_t +(1- λ)C_t-1+ C^T-(l -λ) C^T-1 (11.39)

Краткосрочная предельная склонность к потреблению равна здесь β₂ λ , а долгосрочная β₂ — Поскольку λ меньше единицы, в данной модели воз­можно сочетание низкой краткосрочной предельной склонности к потреб­лению с более высокой долгосрочной средней склонностью.