3.7. Нахождение максимального потока в транспортной сети алгоритмом Форда-Фалкерсона

Рассмотрим задачу поиска максимального потока в транспортной сети с 10 вершинами (вершина 1 - исток, вершина 10 -сток), матрица пропускных способностей дуг Q имеет вид:

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		4	1	3
2					2		2
3						2
4						3	3
5								3		3
6							3		2
7										4
8										3
9										2

Строим последовательность вершин из истока:

1, 2,4,3, 2,5,7,4,6,3,5,10.

Схема построения последовательности:

из истока 1 по ненасыщенным дугам есть пути в вершины 2,4,3.

Первая не рассмотренная вершина 2 связана с вершинами 6 и 7 (по ненасыщенным дугам). Следующая не рассмотренная вершина 4 связана с вершиной 6. Следующая не рассмотренная вершина 3 не порождает ни одной новой вершины.

Вершина 5 не соединена ни с одной новой вершины. Из вершины 5 существует ненасыщенная дуга, ведущая в сток (вершина 10).

Получили существование маршрута по ненасыщенным ребрам из истока в сток:

1 - 2 -5 - 10, максимальная величина груза, который можно перевезти по этому маршруту равно 2.

Уменьшаем пропускные способности дуг, составляющих найденный маршрут:

Из вершины 1 в вершину 2 пропускная способность станет равна 4-2=2, в обратном направлении из вершины 2 в вершину 1 пропускная способность увеличится 0+2=2 .

Из вершины 2 в вершину 5 пропускная способность станет равна 2-2=0, в обратном направлении из вершины 5 в вершину 2 пропускная способность увеличится 0+2=2 .

Из вершины 5 в вершину 10 пропускная способность станет равна 3-2=1, в обратном направлении из вершины 10 в вершину 5 пропускная способность увеличится 0+2=2 .

Строим новую последовательность вершин из истока:

1, 2,4,3, 2,7,4,6,3,7,10.

Получили существование маршрута по ненасыщенным ребрам из истока в сток:

1 - 2 -7 - 10, максимальная величина груза, который можно перевезти по этому маршруту равно 2.

Уменьшаем пропускные способности дуг, составляющих найденный маршрут:

Из вершины 1 в вершину 2 пропускная способность станет равна 2-2=0, в обратном направлении из вершины 2 в вершину 1 пропускная способность увеличится 2+2=4 .

Из вершины 2 в вершину 7 пропускная способность станет равна 2-2=0, в обратном направлении из вершины 7 в вершину 2 пропускная способность увеличится 0+2=2 .

Из вершины 7 в вершину 10 пропускная способность станет равна 4-2=2, в обратном направлении из вершины 10 в вершину пропускная способность увеличится 0+2=2 .

Строим новую последовательность вершин из истока:

1, 4,3, 4,6,7,3,6,9,7,10.

Получили существование маршрута по ненасыщенным ребрам из истока в сток:

1 - 4 -7 - 10, максимальная величина груза, который можно перевезти по этому маршруту равно 2.

Уменьшаем пропускные способности дуг, составляющих найденный маршрут:

Из вершины 1 в вершину 4 пропускная способность станет равна 3-2=1, в обратном направлении из вершины 4 в вершину 1 пропускная способность увеличится 0+2=2 .

Из вершины 4 в вершину 7 пропускная способность станет равна 3-2=1, в обратном направлении из вершины 7 в вершину пропускная способность увеличится 0+2=2 .

Из вершины 7 в вершину 10 пропускная способность станет равна 2-2=0 в обратном направлении из вершины 10 в вершину пропускная способность увеличится 2+2=4 .

Строим новую последовательность вершин из истока:

1, 4,3, 4,7,6,3,7,6,9,9,10.

Получили существование маршрута по ненасыщенным ребрам из истока в сток:

1 - 4 - 6 - 9 - 10, максимальная величина груза, который можно перевезти по этому маршруту равна 1.

Уменьшаем пропускные способности дуг, составляющих найденный маршрут:

Из вершины 1 в вершину 4 пропускная способность станет равна 1-1=0, в обратном направлении из вершины 4 в вершину 1 пропускная способность увеличится 2+1=3 .

Из вершины 4 в вершину 6 пропускная способность станет равна 3-1=2, в обратном направлении из вершины 6 в вершину 4 пропускная способность увеличится 0+1=1 .

Из вершины 6 в вершину 9 пропускная способность станет равна 2-1=1 в обратном направлении из вершины 9 в вершину 6 пропускная способность увеличится 0+1=1 .

Из вершины 6 в вершину 9 пропускная способность станет равна 2-1=1 в обратном направлении из вершины 9 в вершину 6 пропускная способность увеличится 0+1=1 .

Из вершины 9 в вершину 10 пропускная способность станет равна 2-1=1 в обратном направлении из вершины 10 в вершину 9 пропускная способность увеличится 0+1=1.

Строим новую последовательность вершин из истока:

1, 3, 3,6,6,4,7,9,4,7,2,9,10.

Получили существование маршрута по ненасыщенным ребрам из истока в сток:

1 - 3 - 6 - 9 - 10, максимальная величина груза, который можно перевезти по этому маршруту равна 1.

Уменьшаем пропускные способности дуг, составляющих найденный маршрут:

Из вершины 1 в вершину 3 пропускная способность станет равна 1-1=0, в обратном направлении из вершины 3 в вершину 1 пропускная способность увеличится 0+1=1 .

Из вершины 3 в вершину 6 пропускная способность станет равна 2-1=1, в обратном направлении из вершины 6 в вершину 3 пропускная способность увеличится 0+1=1 .

Из вершины 6 в вершину 9 пропускная способность станет равна 2-1=1 в обратном направлении из вершины 9 в вершину 6 пропускная способность увеличится 0+1=1 .

Из вершины 9 в вершину 10 пропускная способность станет равна 2-1=1 в обратном направлении из вершины 10 в вершину 9 пропускная способность увеличится 0+1=1 .

Из вершины 9 в вершину 10 пропускная способность станет равна 2-1=1 в обратном направлении из вершины 10 в вершину 9 пропускная способность увеличится 0+1=1.

Строим новую последовательность вершин:

1.

Из вершины 1 нет маршрута по ненасыщенным ребрам в сток, т.е. по теореме Форда-Фалкерсона найденный поток максимален.

Решение задачи определяется матрицей X:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		4	1	3
2	-4				2		2
3	-1					1
4	-3					1	2
5		-2								2
6			-1	-1					2
7		-2		-2						4
8
9						-2				2
10					-2		-4		-2

Величина максимального потока равна

F(X’)=8.

Найти максимальный поток в транспортной сети.

Задача 7.1.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		3	1	3
2					1		4
3						2
4						3	3
5								3		3
6							3		2
7										2
8										3
9										2

Задача 7.2.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		4	2	4
2					1		2
3						2
4						3	1
5								3		3
6							3		2
7										2
8										3
9										2

Задача 7.3.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		2	3	3
2					2		2
3						2
4						3	3
5								3		3
6							3		2
7										1
8										3
9										2

Задача 7.4.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		5	6	3
2					4		2
3						2
4						5	3
5								3		3
6							3		5
7										4
8										3
9										3

Задача 7.5.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		3	5	3
2					2		2
3						2
4						3	3
5								3		3
6							3		2
7										3
8										3
9										3

Задача 7.6.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		4	3	3
2					4		2
3						1
4						3	2
5								3		3
6							2		2
7										5
8										3
9										2

Задача 7.7.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		4	2	3
2					4		2
3						2
4						3	3
5								3		3
6							3		2
7										4
8										3
9										2

Задача 7.8.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		4	3	2
2					4		2
3						2
4						3	3
5								3		3
6							2		2
7										4
8										4
9										2

Задача 7.9.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		2	5	3
2					3		2
3						5
4						3	3
5								3		3
6							3		2
7										4
8										4
9										2

Задача 7.10.

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1		1	5	3
2					2		2
3						2
4						3	3
5								3		3
6							3		2
7										4
8										3
9										3