2.26. Минимаксные задачи о назначениях

Математическая модель.

Пусть i=1,2,...,m, - номера работ, j=1,2,...,n - номера исполнителей.

R= r(i,j) mn матрица, элемент которой r(i,j) - время выполнения работы с номером i исполнителем с номером j.

Через X= x(i,j) - обозначим mn матрицу, элементы которой x(i,j) {0,1}, причем, если x(i,j) = 1, то работа с номером i будет закреплена за исполнителем с номером j, если x(i,j) =0 , то работа с номером i не будет закреплена за исполнителем с номером j.

Ограничения математической модели.

x(i,j) 1, j=1,2,...,n

x(i,j) 1, i=1,2,...m.

x(i,j) {0,1}, i=1,2,...m. j=1,2,...,n.

Постановка оптимизационной задачи.

В качестве критерия оптимальности возьмем функционал

F(X) = max r(i,j) x(i,j) min, где max берется по всем i=1,2,...,m, j=1,2,...,n.

Поставленная задача называется минимаксной задачей о назначениях. Для ее решения может быть предложен алгоритм, основанный на последовательном решении ряда простейших задач о назначениях.

Обозначим через M=max r(i,j), где максимум берется по всем i, i=1,2,...,m, j=1,2,...,n;

m= max{max(min r(i,j)), max(min r(i,j))}.

Пусть m’ [m, M] .

Рассмотрим простейшую задачу о назначениях с матрицей R’, элемент которой r(i,j) = 1, если r(i,j) m’ ; r(i,j) = 0 , если r(i,j) > m’.

Тогда, если простейшая задача о назначениях с матрицей R’ имеет решение, то время перемещения конвейера будет не более чем m’. Если простейшая задача о назначениях с матрицей R’ не имеет решения, то время перемещения конвейера будет больше, чем m’. Осуществив, например, двоичный поиск, через порядка N решений простейших задач о назначениях, где N= log (M-m), будет решена исходная задача.

2.27. Задачи о назначениях с индивидуальными предпочтениями

Рассматривается задача о назначении исполнителей по работам при условиях, что исполнителями на множестве работ заданы предпочтения, т.е., каждый исполнитель упорядочивает все работы в порядке своих индивидуальных предпочтений независимо от производительностей.

Решение задачи о назначениях назовем некомпроментируемым, если не существует другого решения задачи о назначениях, при котором ни одному из исполнителей не будет назначена работа “худшая” по его предпочтениям, а хотя бы одному - “лучшая”.

Требуется среди всех некомпрментируемых решений найти такое, которое дает максимальное значение критерию задачи о назначениях.

Для решения этой задачи может быть применена схема метода ветвей и границ.

Индивидуальные процедуры метода.

Процедуры оценок.

В качестве нижней оценки может выступать любое некомпроментируемое решение, построение которого, например, можно производить по следующей схеме:

Назначаем очередного исполнителя на “лучшую” для него ( в смысле его индивидуальных предпочтений) работу, еще не назначенную другим исполнителям.

В качестве верхней оценки может выступать оптимальное решение классической задачи о назначениях, полученное, например, алгоритмом Куна.

Процедура ветвления.

Из начальной вершины необходимо осуществить ветвление по n направлениям, где n - количество работ), причем i -ое направление соответствует назначению исполнителя с номером i на работу, “лучшую” по его индивидуальным предпочтениям. Далее ветвление осуществляется из очередной вершины по s направлениям, где s - количество исполнителей, ещё не назначенных на работы.