2.23. Потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке

Пусть G=(V,A) - взвешенный ориентированный (n,m) граф и R= r(i,j) - его матрица весов, элемент которой r(i,j) - вес дуги (i,j), (i,j) A. Пусть в графе G нет петель и контуров. Выделим в нём две особые вершины - вершину “исток” (u) и вершину “сток” (s). Вершины графа G мы будем интерпретировать как географические пункты, дуги - дороги их соединяющие, веса дуг - пропускные способности дорог, т.е. количество груза которое можно перевезти по дороге в единицу времени. Таким образом, построенную сетевую модель называют транспортной сетью. Задача поиска максимального потока в транспортной сети заключается в определении максимально возможного объема груза, который может быть перевезен из истока в сток по существующим дорогам с заданными пропускными способностями.

Математическая модель.

В качестве неизвестных математической модели выберем nn матрицу X= x(i,j) , элемент которой x(i,j) - означает количество груза, которое в единицу времени будет перевезено из пункта i в пункт j, (i,j) A

Ограничения математической модели.

x(i,j) r(i,j), (i,j) A. (1)

По дороге (i,j) нельзя перевозить груза больше, чем пропускная способность дороги.

x(i,j) = - x(j,i), (i,j) A. (2)

Количество груза, перевезенное из пункта i в пункт j равен количеству груза с обратным знаком, которое будет перевезено в обратном направлении.

x(i,j)= 0 , если i=j, (i,j) A. (3)

Внутри промежуточных пунктов груз не перевозится.

x(i,j) = 0, если i V\ {u,s}. (4)

В промежуточных пунктах груз не пропадает.

x(u,j) 0. (5)

Из истока отправляется неотрицательное количество груза.

Матрица X, удовлетворяющая условиям (1) -(5), называется потоком в транспортной сети.

Постановка оптимизационной задачи.

В качестве критерия оптимальности выберем функционал

F(X) = x(u,j) max. (6)

Критерий (6) означает максимизацию величины груза, который может быть перевезен по транспортной сети.

Полученная задача (1) -(6) поиска максимального потока в транспортной сети является задачей линейного программирования. Её решение может быть осуществлено, например, симплекс-методом. Однако специфика задачи позволила для её решения построить более эффективный метод, основанный на теореме Форда-Фалкерсона.

В дальнейшем будем называть величину F(X) - мощностью потока X. Поток X(0), на котором достигается оптимальное решение задачи (1) -(6), называется максимальным потоком.

Назовем (S(u),S(s)) - сечением сети, если пара множеств S(u) и S(s) является разбиением множества вершин V, при котором u S(u), s S(s).

Обозначим через Q(S(u), S(s)) = x(i,j) - величину потока через сечение (S(u),S(s)), здесь суммирование происходит, соответственно, по всем вершинам множества S(u) и всем вершинам множества S(s).

Обозначим через K(S(u), S(s)) = r(i,j) - пропускную способность сечения (S(u),S(s)), здесь суммирование происходит, соответственно, по всем вершинам множества S(u) и всем вершинам множества S(s).

Лемма.

Мощность любого потока не больше пропускной способности любого сечения.

Доказательство.

Надо доказать, что F(X) K(S(u), S(s)), для любого потока X и любого сечения (S(u), S(s)).

Из условий (4), просуммировав его по всем i , i S(u)\{u}, получим

(i,j) =0, (7)

(здесь суммирование производится, соответственно, по i S(u)\{u} и j V).

Из условий (2) следует, что

x(i,j) =0, (8)

если суммирование берется по одному и тому же произвольному подмножеству S множества V.

Рассмотрим величину

F(X) = x(u,j) = x(u,j) + x(i,j), где во втором слагаемом суммирование берется, соответственно, по i S(u)\{u} и i V, т.е. по условию (7) второе слагаемое равно 0. Преобразуем полученное выражение

x(i,j) + x(i,j), где в первом слагаемом суммирование берется, соответственно, по i S(u) и по i S(s), т.е. оно определяет величину потока через (S(u),S(s)) - сечение, а во втором слагаемом суммирование берется по одному и тому же множеству S(u), т.е. по условию (8), второе слагаемое равно нулю. Учитывая условия (1) математической модели, получаем доказательство леммы.

Теорема Форда-Фалкерсона “О максимальном потоке в транспортной сети”.

Если для некоторого потока найдется сечение такое, что величина потока через него равна пропускной способности этого сечения, то этот поток максимален.

Доказательство.

Пусть X(0) - поток, для которого существует сечение (S(u) , S(s)), такое, что величина потока X(0) через него равна величине K(S(u), S(s)) - пропускной способности (S(u) , S(s)) сечения.

Из доказательства леммы следует, что x(u,j) = x(i,j) = L(X)

где суммирование берется, соответственно, по i S(u) и по j S(s).

Будем доказывать теорему от противного.

Пусть существует поток X’ , такой, что F(X’) > F(X(0)), т.е.

F(X’) = x’(u,j) = L(X’) > L(X(0)) = K(S(u), S(s)), что противоречит лемме.

Теорема доказана.