![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Световые волны в прозрачной изотропной среде.
- •Частные решения волнового уравнения.
- •Параметры плоской волны.
- •Фазовая скорость.
- •Групповая скорость.
- •Поперечность световых волн.
- •11.2. Гармоническая волна
- •11.3. Волны в пространстве
- •11.4. Плоские электромагнитные волны *
- •11.5. Плоская гармоническая электромагнитная волна
- •Плоские электромагнитные волны Понятие электромагнитной волны.
- •Поперечный характер электромагнитных волн.
- •Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
- •11.6. Интенсивность волны
- •11.7. Отражение электромагнитной волны от границы раздела двух сред
- •Понятие интерференции электромагнитных волн
- •Интерференция света
- •12.2. Когерентность
- •12.3. Интерференция света от двух точечных источников
- •12.4. Интерференция света в тонких пленках
- •13 * Дифракция
- •13.1. Принцип Гюйгенса — Френеля
- •13.3. Дифракция света на круглом отверстии
- •13.4. Дифракция света на щели
- •13.5. Дифракционная решетка
- •14. Поляризация света
- •14.1. Поляризация электромагнитной волны
- •14.2. Естественный и поляризованный свет
- •14.3. Поляризация света при отражении и преломлении
- •14.4. Поляризация света при двойном лучепреломлении
- •14.6. Интерференция поляризованных лучей
- •15. * Взаимодействие света с веществом
- •15.1. Дисперсия света
- •15.2. Электронная теория дисперсии
- •15.3. Групповая скорость волны
- •3.1. Возникновение волны. Группа волн
- •15.4. Поглощение света
- •Краткое математическое содержание волновой оптики
- •1. Световые волны в прозрачной изотропной среде.
- •Тема 2. Поляризация света.
- •Тема 3. Излучение и поглощение света.
- •Тема 4. Отражение и преломление света.
- •Тема 5. Кристаллооптика.
- •Тема 6. Геометрическая оптика.
- •Тема 7. Спектр света.
- •Тема 8. Интерференция.
- •Тема 9. Дифракция.
- •Тема 10. Дифракционная решетка.
- •Тема 11. Голография.
- •Тема 12. Дифракционный предел разрешения.
- •Тема 13. Взаимодействие света с веществом.
- •Тема 14. Термодинамика излучения.
Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
Электромагнитная
волна, колебания векторов электрического
и магнитного поля которой задаются
уравнениями (1.9),
представляет собой физический процесс,
протекающий с конечной скоростью, равной
скорости света
в
среде, где она распространяется. Чтобы
в этом убедиться рассмотрим волновое
уравнение (1.8),
в котором обозначим
:
,(1.13a)
где имеющий размерность скорости коэффициент
,(1.13b)
определяет,
как будет показано ниже, фазовую скорость
распространения электромагнитной
волны, зависящую от значений диэлектрической
и магнитной проницаемостей среды её
распространения. Можно показать, что
решением волнового
уравнения (1.13a)
является произвольная дважды
дифференцируемая функция
,
например, изображённая на рис.1.9a,
зависящая от линейной комбинации
координаты и времени
.(1.13c)
Знак
в
выражении (1.13c)
означает, что решением уравнения (1.13a)
является
как функция
,
так и функция
.
Рис.
1.9.
Функция
,
изображённой на рис. 1.9a, при изменении
времени перемещается вдоль оси
(рис.1.9b)
в соответствии с нашими интуитивными
представлениями о перемещении гребня
волны. Это свойство решения уравнения
(1.13b)
явилось основанием назвать его волновым
(Д' Аламбер).
Аргумент
рассматриваемой функции
,
называется, как и в частном случае
плоской гармонической волны, полной
фазой
:
.
Множество
точек в пространстве, в которых фаза
волны имеет постоянное значение,
называется волновым
фронтом волны. Для
рассматриваемого случая плоской волны
(1.9)
волновым фронтом является любая
плоскость, параллельная плоскости
.
Физический смысл полной фазы состоит в том, что с её помощью можно определить перемещение волнового фронта волны из исходной точки за время, равное .
Решение
волнового уравнения (1.13a)
в виде плоской гармонической волны
(1.9),
очевидно, является частным случаем
рассмотренного выше, когда в качестве
произвольной функции
выбрана
функция косинуса. Выражение для полной
фазы плоской гармонической волны
получается
из выражения для полной фазы
произвольной
волны при умножении её величины,
измеряемой в единицах длины (метрах),
на волновое число
для
пересчёта в радианы:
,
Где
.(1.13d)
Очевидно,
полная фаза для рассматриваемой волны
имеет постоянное значение
на
любой плоскости, параллельной плоскости
:
.
Это
соотношение можно рассматривать, как
уравнение для определения изменения
положения выбранной плоскости постоянной
фазы
волны
во времени :
.
С
помощью дифференцирования найдём
скорость перемещения
плоскости постоянной фазы,
называемой фазовой скоростью
:
,
совпадающей с (1.13b).
Отсюда
следует, что любая плоскость равной
фазы для волны, представляемой функцией
,
перемещается со скоростью
в
положительном направлении оси
.
Плоскость равной фазы для волны
,
перемещается со скоростью
в
отрицательном направлении оси
.
Рис.
1.10.
При
рассмотрении свойств плоских
электромагнитных волн мы ограничились
случаем распространения волн вдоль оси
.
Это не ограничивает строгость полученных
результатов, поскольку с помощью поворота
(вращения) осей используемой системы
координат можно совместить направление
распространения волны с одной из
координатных осей, например, с осью
.
Очевидно, величина перемещения плоскости
равной фазы за время наблюдения не
зависит от ориентации осей выбранной
системы координат . Перемещение плоскости
равной фазы волны отсчитывается вдоль
перемещения волны, в направлении нормали
к плоскости равной фазы, задаваемом
единичным вектором
.
Если учесть, что уравнение плоскости,
нормаль которой задаётся вектором
(рис.1.10),
имеет вид
,
где
значение константы равно расстоянию
от плоскости до начала координат, то
величина перемещения волнового фронта,
проходящего через начало координат при
,
за время наблюдения
будет
равно
.
С учётом сказанного, выражение для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид
.
В частности для плоской гармонической электромагнитной волны (1.9a):
,(1.9d)
где
-
вектор амплитуды колебаний напряжённости
электрического поля волны, располагающийся
в плоскости перпендикулярной направлению
распространения волны.
Рассмотрим
зависимость фазовой скорости
электромагнитной волны от относительных
значений диэлектрической и магнитной
проницаемостей
от
параметров среды распространения. Из
формулы (1.13c)
следует, что в вакууме при
фазовая
скорость распространения электромагнитной
волны равна скорости света
в
вакууме. Это свойство электромагнитных
волн является основанием одним из
доказательств электромагнитной природы
света. В любой среде, где
скорость
распространения электромагнитной волны
в
раз
меньше, чем скорость света в вакууме.Величина
,(1.14)
определяющая изменение скорости света в среде по сравнению c вакуумом, называется абсолютным показателем преломления4 среды или оптической плотностью среды.
Выражение (1.14) известно, как соотношение Максвелла, впервые установившего зависимость скорости электромагнитных волн от параметров среды их распространения.
Из-за
уменьшения в
раз
фазовой скорости электромагнитной
волны в среде по сравнению со скоростью
света в вакууме уменьшается её длина
волны в среде в
раз
по сравнению со своим значением в
вакууме. Действительно, за период
колебаний волны
волна
проходит с меньшей скоростью меньший
путь:
,
где
-
длина волны в вакууме.
По
этой причине электромагнитная волна,
прошедшая некоторое расстояние
в
среде с оптической плотностью
получит
приращение своей фазы в
раз
большее, чем при распространении в
вакууме на тоже расстояние. В заключении
рассмотрим понятие групповой
скорости электромагнитной волны.
Необходимость рассмотрения наряду с
фазовой скоростью также групповой
скорости связана с негармоническими
электромагнитными волнами. Оказывается,
что электромагнитная волна с произвольной
зависимостью от времени и координат
точки наблюдения может быть представлена
в виде суперпозиции плоских гармонических
волн всевозможных частот.
Рис.
1.11.
В
ряде случаев такая волна представляет
собой некоторое ' возмущение '
электромагнитного поля, например, в
виде импульса, равного нулю за пределами
некоторого интервала
(объема
)
и промежутка времени
(рис.1.11a).
Такое волновое поле называют волновым
пакетом, если
амплитуды гармонических волн, составляющих
рассматриваемое возмущение, ' заметно
' отличаются от нуля лишь внутри некоторого
интервала
'
вблизи' средней частоты
0
(рис.1.11b). Если
,
то волна называется почти гармонической
или квазигармонической. Волновые пакеты
представляют большой практический
интерес при рассмотрении взаимодействия
электромагнитных волн с веществом,
широко используются для передачи
информации и пр. Поэтому имеет физический
смысл оценка скорости движения волнового
пакета или группы волн. Такая скорость
называется групповой и обозначается
символом
.
Оказывается, перенос
энергии электромагнитной волной
осуществляется со
скоростью, равной групповой. Расчет
групповой скорости
электромагнитной волны приводят к
следующей формуле (см. задачу 1.3):
.(1.17a)
Это выражение отличается от формулы для расчета фазовой скорости плоской гармонической волны частоты :
.(1.17b)
Это различие имеет очевидную физическую причину, поскольку каждая из составляющих волновой пакет гармонических волн вследствие различия их частот (2.13d) имеет свою фазовую скорость. Можно показать, что фазовая и групповая скорости связаны между собой соотношением:
,(1.17c)
где - скорость света в среде распространения электромагнитной волны.
Для плоских гармонических электромагнитных волн значения фазовой и групповой скоростей, рассчитываемых по формулам (1.17a) и (1.17b), совпадают.