11.2. Гармоническая волна

Волна называется гармонической, если она описывается функцией,

ψ(t,х) = А cos(ωt-kx + a), (11.4)

где А - амплитуда волны; ω - частота; к - волновое число; а - начальная фаза;

φ(t, x) =ωt-kx + a (11.5)

- фаза волны. Функцию (11.4) можно привести к виду (11.2):

ψ(t,х) = А cos(-k(x –ωt/k) + a),

видно, что скорость гармонической волны связана с частотой и волновым числом соотношением

v= ω/k (11.6)

Для того чтобы получить зависимость величины ψ от времени t, кото­рая описывает ее изменения со временем в данной точке пространства, следует положить в формуле (11.4) х = const. Так как функция (11.4) при х = const описывает гармонические колебания, говорят, что гармони­ческая волна создает в произвольной точке пространства гармонические колебания.

Величина

T=2π/ω - период волны, а (11.7)

λ=2π/k (11.8)

- длиной волны. Если фаза (11.5) волны получит приращение 2π, то, значение функции (11.4) останется прежним. Поэтому при х= const функция (11.4) принимает одно и то же значение для всех моментов вре­мени, которые отличаются одно от другого на пТ, где п - целое число; а при t = const значения функции (11.4) в различных точках пространства совпадают, если координаты этих точек отличаются друг от друга на пλ. График зависимости величины ψ(t,х) от координаты х при t = const для случая, когда вдоль оси х распространяется гармоническая волна, пока­зан на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Гармоническая волна

11.3. Волны в пространстве

Пусть физическая величина ψ распределена в пространстве, и это рас­пределение меняется со временем. Говорят, что функция ψ = ψ(t,r) описывает волну, распространяющуюся в пространстве, если она удо­влетворяет уравнению

∆- оператор Лапласа.

Волна называется плоской, если существует такая система декартовых координат, в которой функция ψ зависит только от одной из координат. Если этой координатой является х, то уравнение (11.9) сводится к (11.1). В произвольной прямоугольной системе декартовых координат плоская гармоническая волна описывается функцией

ψ(t,r) = A cos(ωt-kr + a), (11.10

где вектор к называется волновым. В том, что эта функция является решением уравнения (11.9), нетрудно убедиться непосредственной под­становкой.

Рис. 11.3. Фазовые поверхности и лучи, вдоль которых распространяется в пространстве плоская волна

Функция

φ(t, r) = ωt – kr+a

называется фазой плоской волны. Поверхность

φ(t = const, r) = const, или kr = const

постоянной фазы (11.11) является плоскостью, к которой вектор к пер­пендикулярен. Такие поверхности называют фазовыми, или волновыми, а линии, перпендикулярные к фазовым поверхностям, называют лучами. Для плоской волны лучами являются прямые, параллельные волновому вектору. Этот вектор указывает направление распространения волны, а его модуль (волновое число), частота и скорость волны связаны соотно­шением (11.6). На рис. 11.3 изображены фазовые поверхности и лучи плоской волны.