3. Аппроксимация функции.

4.1. линейная интерполяция ФУНКЦИИ

Пример 4.1.1.

Найти приближенное значение таблично заданной функции:

X	-1,5	-1	0	1
Y	9	7	4.5	2

в точке = - 0,25

Уравнение прямой, проходящей через три точки, имеет вид:

Запишем формулу для искомого значения

Выделим отрезок , содержащий x. В данном случае x = - 0,25, x  [-1,0].

Следовательно

Подставим в формулу, получим: отсюда y = 5,125.

Расчеты в программе EXCEL:

X	-1,5	-1	0	1
Y	9	7	4,5	2
Х0	-0,25
У0	5,125	=(B5-C2)/(D2-C2)*(D3-C3)+C3

4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ.

Пример 4.2.1.

Дана таблица экспериментальных данных:

X	1,5	2,3	3,1	3,9	4,7	5,5	6,3
Y	6,5	8,1	9,7	11,3	12,9	14,5	16,1

Показать, что зависимость линейная, определить параметры этой зависимости.

Решение:

а) Построим график по заданным точкам.

б) Докажем аналитически, что данная зависимость является линейной.

Если разделенные разности P1 первого порядка для каждой i-той пары точек имеют близкие между собой значения, то данная зависимость является линейной,

X	Y	P1
1,5	6,5	2
2,3	8,1	2
3,1	9,7	2
3,9	11,3	2
4,7	12,9	2
5,5	14,5	2
6,3	16,1

.

Следовательно, данная зависимость имеет вид: .

в) Для определения параметров а и b данной зависимости методом наименьших квадратов необходимо решить систему уравнений

В данном случае получим

В расчетной таблице это выглядит так:

X	Y	Х*Х	Х*У
1,5	6,5	2,25	9,75
2,3	8,1	5,29	18,63
3,1	9,7	9,61	30,07
3,9	11,3	15,21	44,07
4,7	12,9	22,09	60,63
5,5	14,5	30,25	79,75
6,3	16,1	39,69	101,43
27,3	79,1	124,39	344,33

Последняя строка таблицы содержит значения сумм по каждому столбцу. Система уравнений решается через определение обратной матрицы.

Матрица	коэффициентов		Св. чл.
124,39	27,3		344,33
27,3	7		79,1
Обратная матрица:			Решение
0,055804	-0,21763		a=	2
-0,21763	0,991629		b=	3,5

Для проверки найденного решения в формуле при вычислении F(x) необходимо закреплять адреса ячеек, где находятся значения a и b.

X	Y	F(X)
1,5	6,5	6,5
2,3	8,1	8,1
3,1	9,7	9,7
3,9	11,3	11,3
4,7	12,9	12,9
5,5	14,5	14,5
6,3	16,1	16,1

Для определения параметров линейной зависимости в EXCEL используется функция ЛИНЕЙН(известные значения у; известные значения х; 1; 0). Работа в EXCEL оформляется следующим образом.

Вводятся заданные значения х и у.

Для вычисления значений параметров а и b выделяются две ячейки. Вызывается функция ЛИНЕЙН, для первого параметра выделяются значения столбца у, для второго параметра – столбца х, третий и четвертый параметры остаются пустыми. Вводится функция тремя клавишами + + .

Для проверки надо вычислить значения у для каждого значения х при полученных а и b.