3. Решение системы линейных уравнений.

Пример 3.1.

1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

При решении поставленной задачи работа в EXCEL должна выглядеть так:

В строке формул показано, что в ячейке В12 введена формула вычисления значения главного определителя через функцию МОПРЕД (массив). При использовании мастера функций в качестве аргумента функции МОПРЕД (массив) выделяются ячейки значений исходной матрицы коэффициентов, обозначенной А.

Для вычисления определителей по каждой переменной необходимо копировать ячейки, содержащие запись о матрице А и вычисление её определителя, то есть ячейки А7:Е12.

Вставить их копию ниже 4 раза, так как в системе 4 уравнения и 4 неизвестных.

Для вычисления определителя по каждой переменной необходимо изменить значения коэффициентов при этой переменной на значения свободных членов каждого уравнения, для Х1 меняем значения первого столбца, для Х2 – второго и так далее.… Это можно сделать копированием и вставкой значений свободных членов в соответствующие столбцы. Значения определителей вычисляются автоматически.

Решение системы и проверка правильности решения оформить в виде столбцов

Д ля проведении проверки выделяется четыре ячейки одного столбца, используется функция МУМНОЖ (Массив1, Массив2), где для Массива1 выделяем исходную матрицу коэффициентов А, для Массива2 – столбец найденного решения, результат вводится тремя клавишами + + . Если не вышло четыре значения, необходимо проверить выделение четырех ячеек, поставить курсор в строку формул и повторить нажатие указанных трех клавиш. Значения, полученные в результате проверки, должны совпасть со свободными членами заданной системы, найденное решение верно.

2. Решить эту же систему линейных уравнений матричным методом.

Для решения системы линейных уравнения матричным способом необходимо определить матрицу обратную матрице коэффициентов системы. Для нахождения решения системы обратную матрицу надо умножить на столбец свободных членов заданной системы уравнения.

Чтобы определить обратную матрицу надо выделить столько же столбцов и строк сколько в исходной матрице коэффициентов, то есть 4х4 ячеек. В качестве аргумента функции МОБР(Массив) выделяем массив А, вводим формулу тремя клавишам + + , как и при определении проверки в предыдущей задаче.

Для проверки обратной матрицы необходимо умножить исходную матрицу А на обратную, только что найденную. Для этого выделяется блок ячеек 4 на 4 и вызывается функция МУМНОЖ(Массив1, Массив2), где Массив1 – исходная матрица А, Массив2 – обратная к ней. Вводится функция тремя клавишами + + .

Для определения решения выделяется столбец из 4 ячеек, вызывается функция МУМНОЖ(Массив1, Массив2), где Массив1 – обратная матрица, Массив2 – столбец свободных членов В. Вводится функция тремя клавишами + + .

Проверка выполняется так же, как и в решении системы методом Крамера.

в)Решить эту же систему методом Гаусса.

Метод Гаусса состоит в приведении расширенной матрицы системы

к виду ,

используя арифметические вычисления.

При решении поставленной задачи работа в EXCEL должна выглядеть так:

После введения в таблицу EXCEL расширенной матрицы системы в качестве разрешающего элемента выбираем первый коэффициент первого уравнения (Если в системе первый коэффициент равен нулю, то необходимо переставить уравнения местами). Получаем новые значения для первого уравнения копированием формулы .

Для вычисления нового значения в его ячейку вводим формулу , т.е. = старое значение -новое значение с закреплением номера строки * старое значение с закреплением наименования столбца.

Копируем формулу на все второе уравнение и на третье, четвертое уравнения.

Затем алгоритм повторяется. Выбираем второй разрешающий элемент в ячейке В8. Выделим блок ячеек для новой матрицы и в ячейке В13 для нового значения элемента вводим формулу.

Копируем эту формулу в ячейки А13 и С13:Е13. В ячейку В14 вводим формулу =В9-В$13*$B9. Копируем формулу в ячейки третьего и четвертого уравнения.

Заданную формулу из ячейки В14 «протащить мышкой» в диапазон первого уравнения нельзя, так как будет выдано сообщение о циклической ошибке – ссылке формулы на саму себя. Поэтому сначала командами «Копировать» и «Вставить» формулу ячейки В14 копируем в ячейку А12, а затем методом «протаскивания» заполняем всю первую строку.

Появившееся в ячейках второй строки выделение убираем с помощью контекстного меню.

Далее выбираем третий разрешающий элемент и вводим для него формулу в блоке ячеек для новой матрицы, копируем формулу в ячейки третьей строки.

Для вычисления значений элементов четвертой строки в ячейку С20 (элемент ) вводим формулу C15-C$19*$C15 и копируем её во все ячейки строки.

Далее не «протягиванием», а копированием и вставкой вводим формулу для элемента и «протягиваем её на ячейки первого и второго уравнений.

Осталось последнее уравнение. Введем формулу для и заполним ячейки четвертого уравнения

Для определения значений оставшихся коэффициентов введем в ячейку D24 формулу вычисления элемента и скопируем её на все оставшиеся ячейки.

Полученный в ячейках Е22:Е25 результат является решением системы.