5. Определение параметров эмпирическОй зависимости
Используя данные задачи 4, найти методом наименьших квадратов параметры эмпирической зависимости.
Решение:
Итак, в результате
решения задачи 4 определили, что
зависимость имеет вид
.
Необходимо найти
значения параметров а
и
b в этой
формуле. Для этого удобно воспользоваться
формулами метода наименьших квадратов
для определения параметров A
и B линейной
зависимости
.
Логарифмируя левую
и правую части уравнения
,
получим
,
т. о. Z = ln(у), T
= х, А = ln(b), В = ln(a). Для обратного перехода
к а и b
малым необходимо вычислить
Полученные формулы
называют формулами
выравнивания.
Теперь, используя метод наименьших
квадратов можно определить А
и
В.
затем
найдем искомые значения а
и
b из
формул выравнивания,
Пересчитаем табличные данные согласно формул выравнивания:
-
T=x
1
2
3
4
5
Z=ln(y)
Ln(5)=1,6
Ln(7)=1,9
Ln(9)=2,1
Ln(12)=2,3
Ln(15)=2,5
Для определения А и В методом наименьших квадратов
;
;
;
;
.
Система для
определения А и В записывается следующим
образом:
После решения А
= 0,27 и В =1,37, а
из формул выравнивания
Таким образом, по данному методу зависимость, описывающая данные эксперимента, запишется в виде
x |
y |
T |
Z |
T^2 |
T*Z |
|
Матрица коэффициентов |
Св. чл. |
||
1 |
5 |
1 |
1,609438 |
|
1,609438 |
|
55 |
15 |
|
35,57281 |
2 |
7 |
2 |
1,94591 |
4 |
3,89182 |
|
15 |
5 |
|
10,94553 |
3 |
9 |
3 |
2,197225 |
9 |
6,591674 |
|
Обратная матрица |
Решение |
||
4 |
12 |
4 |
2,484907 |
16 |
9,939627 |
|
0,1 |
-0,3 |
А= |
0,273622 |
5 |
15 |
5 |
2,70805 |
25 |
13,54025 |
|
-0,3 |
1,1 |
В= |
1,36824 |
|
|
15 |
10,94553 |
55 |
35,57281 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
3,928429 |
|
|
x |
y |
|
проверка |
|
|
|
в |
1,314718 |
|
|
1 |
5 |
|
5,2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
|
6,8 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
|
8,9 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
12 |
|
11,7 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
15 |
|
15,4 |
|
|
|
|
|
|
|
