Виды матриц
Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.
Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.
В случае квадратной матрицы
вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.
П
обочной
диагональю той
же матрицы называется диагональ, идущая
из левого нижнего угла в правый верхний
угол.
Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.
Две
матрицы А и В называются равными (А=В),
если они одинакового размера (т.е. имеют
одинаковое количество строе и одинаковое
количество столбцов и их соответствующие
элементы равны). Так, если
то
А=B, если a11=b11,
a12=b12,
a21=b21,
a22=b22
Матрицы специального вида
Квадратная
матрица 
называется верхней
треугольной,
если 
при i>j,
и нижней
треугольной,
если
при i<j
Общий вид треугольных матриц:
Заметим,
что среди диагональных элементов 
могут
быть равные нулю
элементы. Матрица 
называется верхней
трапециевидной, если выполнены следующие
три условия:
1. при i>j;
2. Существует такое натуральное число r, удовлетворяющее неравенствам , что .
3. Если какой-либо диагональный элемент , то все элементы I-й строки и всех последующих строк равны нулю.
Общий вид верхних трапециевидных матриц:
при 
.
при 
.
при r=n
при r=m=n.
Отметим, что при r=m=n, верхняя трапециевидная матрица является треугольной матрицей с отличными от нуля диагональными элементами.
27) Действия с матрицами
Сложение матриц
Матрицы одинакового размера можно складывать.
Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Символически будем записывать так: А+В=С.
Пример.
Легко видеть, что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С).
Нулевая матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел: А+0=А.
Вычитание матриц.
Разностью двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая, что
С+В=А
Из этого определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.
Обозначается разность матриц А и В так: С=А – В.
Пример.
3. Умножение матриц
Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго порядка.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С=АВ.
Правила умножения прямоугольных матриц:
Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк в матрице В.
В
результате умножения двух прямоугольных
матриц получается матрица, содержащая
столько строк, сколько строк было в
первой матрице и столько столбцов,
сколько столбцов было во второй матрице.
4. Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число . Например, умножим матрицу на число 2. Получим , т.е. при умножении матрицы на число множитель «вносится» под знак матрицы.
Транспонирование матрицы
Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].
Например,
Свойства транспонированных матриц
1. (AT)T = A
2
.
(A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BTAT
4. detA = detAT
28) Понятие определителя n-го порядка
Пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n горизонтальных и в nвертикальных рядах. С помощью этих чисел по определённым правилам вычисляют некоторое число, которое называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:
(1)
Горизонтальные
ряды в определителе (1) называют строками,
вертикальные – столбцами,
числа 
-элементами определителя
(первый индекс означает номер строки,
второй – номер столбца, на пересечении
которых стоит элемент; i = 1, 2,
..., n; j = 1, 2, ..., n). Порядок
определителя – это число его строк и
столбцов.
Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы
называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.
Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых – произведение n его элементов, взятых только по одному из каждой n строк и из каждого nстолбцов квадратной таблицы чисел, причём половина (определённых) членов берётся с их знаками, а остальные – с противоположными.
Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.
Определитель
первого порядка – это сам элемент 
т.е.
.
Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:
(2)
где
- элементы определителя, а
и 
- его члены.
Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся член, являющийся произведением элементов главной диагонали, а с противоположным – член, представляющий собой произведение элементов противоположной диагонали.
Пример 1. Вычислить определители второго порядка:
Решение. По формуле (2) находим:
Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:
(3)
Запом
нить
эту формулу трудно. Однако существует
простое правило, называемое правилом
треугольников, которое позволяет легко
воспроизвести выражение (3). Обозначая
элементы определителя точками, соединим
отрезками прямой те из них, которые
дают члены определителя (рис. 1).
Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся члены, которые являются произведением элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – члены, являющиеся произведениями элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны.
Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:
Решение. Пользуясь правилом треугольников, получим
Вычисление определителей четвертого и последующих порядков можно свести к вычислению определителей второго и третьего порядков. Это можно сделать с помощью свойств определителей. К рассмотрению их мы и переходим.
Свойства определителя n-го порядка
Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.
Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно.
В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль.
Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.
Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:
Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:
Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:
Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:
Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:
Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится:
Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится:
Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8.
Миноры и алгебраические дополнения.
Определение.
Если в определителе n-го порядка
выбрать произвольно pстрок и p столбцов
(p < n), то элементы, находящиеся
на пересечении этих строк и столбцов,
образуют матрицу порядка 
.
Определитель
этой матрицы называется минором исходного
определителя. Например, рассмотрим
определитель 
:
Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:
Определитель
называется минором определителя . Получили минор второго порядка. Ясно, что из можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.
Если
взять элемент 
и
вычеркнуть в определителе
строку
и столбец, на пересечении которых он
стоит, то получим минор, называемый
минором элемента
,
который обозначим через 
:
.
Если
минор
умножить
на 
,
где 3 + 2 – сумма номеров строки и столбца,
на пересечении которых стоит элемент
то
полученное произведение
называется алгебраическим
дополнением элемента
и
обозначается 
,
т.е.
Вообще,
минор элемента 
будем
обозначать 
,
а алгебраическое дополнение 
,
причём
(4)
Для
примера вычислим алгебраические
дополнения элементов 
и 
определителя
третьего порядка
:
По
формуле (4) получим
Для вычисления определителя n-го порядка полезно знать следующую теорему: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.
(i =
1, 2, ..., n)
Пример 3
здесь разложение проведено по элементам первой строки.
Пример 4.
Предварительно вычтем из первой и третьей строк элементы четвёртой строки, тогда будем иметь
В четвёртом столбце полученного определителя три элемента – нули. Поэтому выгоднее разложить этот определитель по элементам четвёртого столбца, так как три первых произведения будут нулями. Поэтому
Свойства определителей
1. Если какая-либо строка (столбца) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.
2. Если
все элементы какой-либо строки
(столбца) матрицы умножить на число 
,то
ее определитель умножится на это
число
.
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.
3. При
транспонировании матрицы ее
определитель не изменяется: 
.
4. При перестановки двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.
7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.
8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
9. Сумма
произведений произвольных чисел 
на
алгебраические дополнения любой строки
(столбца) равна определителю матрицы,
полученной из данной заменой элементов
этой строки (столбца) на числа
.
10. Определитель
произведения двух квадратных матриц
равен произведению их определителей: 
,
где 
,
а
и
-
матрицы 
-го
порядка.
Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления для определителей высоких порядков. При этом с помощью свойств 1-9 желательно преобразовать исходную матрицу таким образом, чтобы она имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом вычислить определитель, разложенный по этой строке (столбцу).
29) В определителе порядка n алгебраическим дополнением элемента, стоящего на пересечении k-го столбца и l-й строки, называется определитель порядка (n - 1), получаемый из данного вычеркиванием в нем строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, причем к этому определителю присоединяется множитель (-1)k+l, где (k + l) - сумма номеров вычеркнутой строки и столбца. Алгебраическое дополнение элемента, рассматриваемое без множителя (-1)k+l, называется минором этого элемента.
Пример. В определителе 5-го порядка
(3)
алгебраическим дополнением, соответствующим элементу d3, будет определитель 4-го порядка
Здесь в показателе степени у (-1) три - номер строки, четыре - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент d3.
Алгебраические
дополнения
Алгебраическое
дополнение элемента 
определителя 
-
определитель 
где 
-
минор элемента
.
Разложение определителя По элементам i-й строки:
По
элементам j-го
столбца:
Например,
при n
= 4 разложение
по первой строке