Умножение на число

Произведением вектора   на число k называется вектор, который:

1. к оллинеарен вектору ;

2. сонаправлен ему, если k > 0, или противоположнонаправлен, если k < 0;

3. длины связаны следующим соотношением:  .

Данное определение согласовано с определением сложения:

для любого натурального n.

Свойства линейных операци

Сложение векторов коммутативно:  .

Сложение векторов ассоциативно:  .

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего:  . Очевидно,  .

Для любого вектора   существует вектор  такой, что   или  .

Умножение вектора на число ассоциативно:  . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:  .

Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков α и β, в каждом случае утверждение очевидно.

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов:  . Это следует из подобия треугольников   и   на рисунке.

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор:  .

4) 1. Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении  , определяются по формулам

Если  , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть L – произвольная прямая,   – её произвольные точки, причем  . Говорят, что точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении  , если  .

Замечание. Из определения следует, что точки С и В не могут совпадать, ибо в противном случае, т.е. если  , то  , откуда следует, что  , что противоречит предположению  .

   Далее, число  . Действительно, если  , то  , откуда следует, что   и опять приходим к противоречию.

   Возможны два принципиально различных случая расположения точки С на прямой относительно отрезка АВ:

1) Точка С находится на отрезке АВ:

                                          рис.16.

2) Точка С находится вне отрезка АВ (неважно справа или слева от отрезка)

                                          рис.17.

Определение. Если точка С является точкой отрезка АВ, то говорят, что точка С делит отрезок внутренним образом, в противном случае говорят, что точка С делит отрезок внешним образом.

Обозначение. Если   есть отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, то будем писать:

                                           .

Теорема. (О вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.) Отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, можно вычислить по формуле:

                                     ,                                   (9)

где знак плюс берется в случае, когда точка С делит отрезок АВ внутренним образом и знак минус в противном случае.

   Доказательство. Из определения следует, что  , откуда, в свою очередь, по определению умножения вектора на число  . Отсюда следует, что  .

   Далее, если точка С делит отрезок АВ внутренним образом, то она лежит на отрезке АВ и  , т.е. число  . В противном случае   и  , ч.т.д. Теорема доказана.

Теорема. (О делении отрезка точкой на числовой оси.)

Пусть   – точки координатной оси Ох и точка С делит отрезок АВ в отношении  , причем,  . Тогда:

1)  ;                                                         (10)

2)  .                                                   (11)

   Доказательство. 1) Обозначим для простоты:  . По определению, . Из следствия о декартовых координатах векторов оси получаем равенство  , откуда следует  . Применяя теорему о вычислении декартовой координаты вектора оси, получаем  , ч.т.д.

2) Достаточно выразить   из равенства (10).

Теорема доказана.

Следствие. Пусть точка С – середина отрезка АВ. Тогда

                                .                                   (12)

   Доказательство. В этом случае точка С делит отрезок АВ внутренним образом и  . По формуле (9) получаем, что  . Подставляя в формулу (11), получаем формулу (12), ч.т.д.

Следствие доказано.

5) Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается   или просто   ) — вектор, задающий положения точкив пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началомкоординат.

Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина радиус-вектора, или его модуль, определяет расстояние, на котором точка находится от начала координат, а стрелка указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Разложение вектора по ортам координатных осей.  Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , kсоответственно (см. рис. 12).

 

Выберем произвольный вектора пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.

Найдем проекции вектора ана координатные оси. Проведем через конец вектораОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁ , М₂ и Мз.Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является векторОМ. Тогда пр _ха=|OM ₁|, np_ya = |ОМ₂|, пр_zа=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ ₁ + M₁N+ NM.

А так как M ₁N=OM ₂ , NM =ОМз, то

а=ОМ ₁ + ОМ ₂+ ОМ₃                                             (5.1)

 

Обозначим проекции вектораа=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и a_z, т.е. |OM₁| = а_х,|ОМ₂| = а_у, |ОМ₃| = а_z. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

a=a_xi+a_yj+a_zk            (5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у,a_zназываются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: a = (a_x ;a_y ;a_z).

Равенство b = (b_x ;b_y ; b_z ) означает, что b = b_х•i+b _у •j + b_z • k . Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

   

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны . По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа    называются направляющими косинусами вектора а.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектораe являются числа

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.